Klausur-Beispiele

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Aufgaben zur Festigkeitslehre

Letztes Update am 08.05.16. Überarbeitet am 28.07.2019

• Flächenmomente 2. Grades

• Querschnittswerte-Beispiel Flächenmomente eines zusammengesetzten Querschnitts

• Querschnittswerte-Beispiel Richtung der Hauptachsen und Hauptflächenmomente eines Winkelprofils

• Einfach- und doppeltsymmetrische Querschnitte mit Symmetrieachsen y, z

• Querschnittswerte-Beispiel Symmetrischer Querschnitt, Rechteck unter der Belastung eines Biegemomentes

• Querschnittswerte-Beispiel Belastung eines unsymmetrischen Querschnitts durch Biegemomente

• Transformation der Schnittlasten auf die Hauptachsen

• Schiefe Biegung eines Balkens

• Bewertung der Beanspruchung durch Berechnung einer Vergleichsspannung

• Berechnung der Vergleichsspannung

Berechnung von Querschnittswerten

Flächenmomente 2. Grades

Flächenschwerpunkt

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt

Zur Berechnung des Schwerpunktes des Querschnittes eines Stabes (xs,ys) werden die Eckpunkte der Teilflächen i=1, …n mit Flächeninhalt A_i zunächst auf ein beliebiges rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen. Die Berechnung kann tabellarisch erfolgen. Für einfache Querschnitte genügt das Aufschreiben der Formeln, wobei die Maße einer Zeichnung entnommen werden.

Flächenmomente 2. Grades

https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenmoment#Flächenmoment_2._Grades

Das Produkt E ^. I (siehe oben, Gleichung der Biegelinie) nennt man Biegesteifigkeit. Hierin ist I das Flächenmoment 2. Grades. Das Flächenmoment 2. Grades im Schnitt der y-z-Ebene ist

Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt ist

Das Biegemoment ist die Resultierende der Biege(normal)spannungen infolge eines Biegemoments. Dies sind in Richtung der Achse x wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen den Randfasern (Druckfaser und Zugfaser), Die Biegespannung ist:

I_y ist das Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht.

Ist das Moment positiv, treten für z > 0 Zug- und für z < 0 Druckspannungen auf. Da positive Momente nach unten abgetragen werden, muss die positive z-Achse nach unten zeigen.

Die betragsmäßig größte Spannung tritt in der äußersten Faser z_max auf.

Das Widerstandsmoment ist

https://de.wikipedia.org/wiki/Widerstandsmoment

Die maximale Biegespannung ist

Es ist darauf zu achten, dass W mit dem Wert z_max berechnet wurde, für den auch die Spannung ermittelt werden soll! Sowie auf die Vorzeichen.

Berechnung der Flächenmomente 2. Grades

Axiale Flächenmomente

Die axialen Flächenmomente in einem kartesischen Koordinatensystem sind

Das biaxiale Flächenmoment oder auch Deviations- oder Zentrifugalmoment ist:

Es ist gleich Null, wenn die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Die zugehörigen Flächenmomente heißen dann Hauptmomente, sie nehmen in diesem Falle Extremwerte an. Im Gegensatz zu den axialen und zum polaren Flächenmoment kann das Zentrifugalmoment sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Satz von Steiner

Das Flächenmoment I_ys einer beliebigen Querschnittsfläche setzt sich zusammen aus

• den Flächenmomenten im Hauptachsensystem der einzelnen Teilflächen, I_ys, I_zs, und

• dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes z_ss von der Schwerachse der Gesamtfläche zu der Schwerachse der Teilfläche mit dem Wert der Teilfläche.

Körperschwerpunkt

https://de.wikipedia.org/wiki/Massenmittelpunkt

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Angriffspunkt der Resultierenden aller seiner Teilgewichtskräfte. Zu dessen Bestimmung hängt man den Körper mindestens zweimal (ebener Körper) auf und lotet den Aufhängepunkt aus. Die Lote schneiden sich im Schwerpunkt des Körpers.

Koordinaten des Schwerpunktes eines homogenen Körpers:

x(s) = ∑(x(n) ^. V(n)) / V

y(s) = ∑(y(n) ^. V(n)) / V

z(s) = ∑(z(n) ^. V(n)) / V; V = ∑V(n); n = 1, ...

andere Schreibweise:

Beispiel Schwerpunkt und Flächenmoment 2. Grades

Es sollen nur die Werte z_s sowie I_y berechnet werden.

Die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilflächen werden auf die untere Randlinie bezogen.

Da der Querschnitt symmetrisch zur z-Achse ist, können die beiden Teilflächen zu einer Teilfläche der Breite 8 + 8 = 16 mm zusammengefasst werden.

A₁ = 24 ^. 60 = 1440 mm²

A₂ = 2 ^. 8 ^. 30 = 480 mm²

z_s = 26,25 mm

I_z = I_z1 + 3,75^{2 .} A₁ + I_z2 + 11,25^{2 .} A₂

I_z = I_z1 + 20250 + I_z2 + 60750

I_z1 = 24 ^. 60³/ 12 = 432000 mm⁴

I_z2 = 2 ^. 8 ^. 30³/ 12 = 36000 mm⁴

I_z = 432000 + 20250 + 36000 + 60750

I_z = 549000 mm⁴

Querschnittswerte-Beispiel: Flächenmomente eines zusammengesetzten Querschnitts

Gewählt wird ein ungleichschenkliger Winkel nach DIN EN 10 056 (10.98) 100x50x6

(Bezüglich der Randabstände v und w siehe folgende Bilder)

Dimension cm; cm²

(siehe Zeichnung folgende Seite)

A₁ = [10 ^. 0,6]

A₁ = 6

A₂ = [(5 – 0,6) ^. 0,6]

A₂ = 2,64

A = A₁ + A₂ = 8,64 cm²

(Wert unter Berücksichtigung der Rundungen ist 8,71 cm²)

e_y = ([0,6/ 2] ^. 6 + [5/2 + 0,6] ^. 2,64)/ 8,64

e_y = 1,15 cm (Wert unter Berücksichtigung der Rundungen ist 1,05 cm)

e_z = ([10/2] ^. 6 + [0,6/ 2] ^. 2,64)/ 8,64

e_z = 3,56 cm (Wert unter Berücksichtigung der Rundungen ist 3,51 cm)

Ungleichschenkliger Winkel nach DIN EN 10 056 (10.98) 100x50x6;

Flächenmomente aus Tabelle

Flächenmoment 2. Grades der Teilfläche 1 des Winkels bezogen auf die

Achse y durch den Schwerpunkt der Teilfläche 1

I_y1 = 0,6 ^. 10³ / 12 = 50

Dito, betreffend Teilfläche 2

I_y2 = 4,4 ^. 0,6³ / 12 = 0,079

Flächenmoment 2. Grades der Teilfläche 1 des Winkels bezogen auf die Achse z durch den Schwerpunkt der Teilfläche 1

I_z1 = h ^. b³ / 12 = 10 ^. 0,6³ / 12 = 0,18

Dito, betreffend Teilfläche 2

I_z2 = 0,6 ^. 4,4³ / 12 = 4,259

Flächenzentrifugalmoment der jeweiligen Teilfläche

I_yz1 = I_yz2 = 0

Flächenmoment 2. Grades des Winkels bezogen auf die Achse y durch den Schwerpunkt

I_y = {I_y1 + A₁ ^. z_1s²} + {I_y2 + A₂ ^. z_2s²}

I_y = {50 + 6 ^. 1,49²} + {0,079 + 2,64 ^. 3,21²}

I_y = 90,60 cm⁴

(89,9 nach Tabelle unter Berücksichtigung der Rundungen)

Flächenmoment 2. Grades des Winkels bezogen auf die Achse z durch den Schwerpunkt

I_z = {I_z1 + A₁ ^. y_1s²} + {I_z2 + A₂ ^. y_2s²}

I_z = {0,18 + 6 ^. 0,76²} + {4,259 + 2,64 ^. 1,75²}

I_z = 15,99 cm⁴

(15,4 nach Tabelle unter Berücksichtigung der Rundungen)

Flächenzentrifugalmoment

I_yz = {I_yz1 - A₁ ^. y_1s ^. z_1s} +

{I_yz2 - A₂ ^. y_2s ^. Z_2s }

I_yz = {0 - 6 ^. 0,76 ^. 1,49} +

{0 - 2,64 ^. 1,75 ^. 3,21}

I_yz = -21,62 cm⁴

Weitere Beispiele: http://wandinger.userweb.mwn.de/TM2/u3_2.pdf

Querschnittswerte-Beispiel

Richtung der Hauptachsen und Hauptflächenmomente des Winkelprofils im vorigen

Ein Hauptflächenmoment ist auf eine Hauptachse eines Querschnitts bezogen.

Beispiel

Richtung der Hauptachsen

tan 2α = 2 ^. I_yz / (I_z – I_y)

tan 2α = -2 ^. 21,62 / (15,99 – 90,6)

tan 2α = 0,579

2α = 30,1 Grad

α = 15,05 Grad

tan α = 0,269

(0,262 nach Tabelle unter Berücksichtigung der Rundungen)

Iη =(I_y + I_z)/2 + cos 2α ^.(I_y - I_z)/2 - I_yz ^. sin 2α

Iζ =(I_y + I_z)/2 - cos 2α ^.(I_y - I_z)/2 + I_yz ^. sin 2α

Iηζ = ^. sin 2α ^.(I_y - I_z)/2 + I_yz ^. cos 2α

I_y = I_yy = 90,60 cm⁴

I_z = I_zz = 15,99 cm⁴

α = 15,05 Grad

sin 2α = sin 30,1 = 0,50

I_yz = 21,62 cm⁴

cos 2α = cos 30,1 = 0,865

Iη = 0,5^.(90,6 + 15,99) + 0,5^.(90,6 - 15,99) ^. 0,865 + 21,62 ^. 0,5

Iη = 96,37 cm⁴ (95,4 mit Rundungen)

Iζ = 0,5^.(90,6 + 15,99) - 0,5^.(90,6 - 15,99) ^. 0,865 - 21,62 ^. 0,5

Iζ = 10,21 cm⁴ (9,92 mit Rundungen)

Die folgenden Formeln können ebenfalls verwendet werden.

Iη = Iy ^. cos² α + Iz ^. sin² α - Iyz ^. sin 2α

Iζ = Iy ^. sin² α + Iz ^. cos² α + Iyz ^. sin 2α

Zur Probe sollte man, da die Spur der Matrix bzw. des Tensors in beiden Bezugssystemen den gleichen Wert haben muss, rechnen

Iη + Iζ = I_y + I_z

96,37 + 10,21 := 90,6 + 15,99

Formeln und viele weitere Beispiele auf http://content.schweitzer-online.de/static/catalog_manager/live/media_files/representation/zd_std_orig__zd_schw_orig/018/871/256/9783817118717_content_pdf_1.pdf

https://www.mechbau.uni-stuttgart.de/ls2/Downloads/Formelsammlung_TM2.pdf

Einfach- und doppeltsymmetrische Querschnitte mit Symmetrieachsen y, z

Die Bezugsachsen für die Anwendung der folgenden Formel müssen Hauptachsen sein.

Die Bezugsachsen für die Anwendung der folgenden Formel müssen Hauptachsen sein.

M_y := Moment dreht um die Achse y

I_y := Flächenmoment 2. Grades des Winkels bezogen auf die Achse y durch den Schwerpunkt

Das Widerstandsmoment ist der Quotient aus Flächenmoment und dem Abstand der Randfaser zur jeweiligen Hauptachse; z.B. W_y = I_y/ max z.

Querschnittswerte-Beispiel

Symmetrischer Querschnitt, Rechteck unter der Belastung eines Biegemomentes

b = 2 cm

d = 4 cm

M_y = 100 kN cm

I_y = 2 ^. 4³ / 12 cm⁴

I_y = 10,66 cm⁴

max z = d/ 2 = 4/ 2 = 2 cm

σ_x = (M_y/ I_y) ^. max z

σ_x = (100 kN cm/ 10,66 cm⁴) ^. 2 cm

σ_x = 18,75 kN/ cm²

σ_x = 18,75 ^. 1000 N/ (10 ^. 10 mm²)

σ_x = 187,5 N/ mm²

W_y = b ^. d²/ 6

W_y = 2 ^. 4² / 6 cm³

W_y = 5,33 cm³

σ_x = M_y/ W_y

σ_x = 100 kN cm/ 5,33 cm³ = 18,75 kN/ cm² =

187,5 N/ mm²

Beispiel: Symmetrischer Querschnitt wie zuvor unter der Belastung zweier Biegemomente.

M_y = 40 kN cm

max z = d/ 2 = 4/ 2 = 2 cm

M_z = -30 kN cm

max y = b/ 2 = 1/ 2 = 0,5 cm

Die Spannungen sind axonometrisch dargestellt. Die Spannungsnulllinie geht durch den Symmetriepunkt, da die Normalkraft N = 0 ist.

Unsymmetrische Querschnitte

Die Bezugsachsen für die Anwendung der folgenden Formel müssen Hauptachsen sein.

Die Hauptachsen sind  und  und sind gegenüber den Achsen y, z durch den Schwerpunkt S um den Winkel α gedreht.

Querschnittswerte-Beispiel

Belastung eines unsymmetrischen Querschnitts durch Biegemomente

Gewählt wird der ungleichschenkliger Winkel nach DIN EN 10 056 (10.98) 100x50x6 eines obigen Beispiels

Flächenmoment 2. Grades	Hauptflächen- momente	Winkel
Iy = 89,9 cm4 Iz = 15,4 cm4 Iyz = 21,62 m4	Iη = 95,4 cm4 Iζ= 9,92 cm4	tan α = 0,262 α = 14,68 Grad sin α = 0,253 cos α = 0,967

Für andere genormte Querschnitte können die Werte aus Tabellen in Handbüchern entnommen werden.

Beispiel für die Belastung:

N = 0

My = 100 kN cm = 100 ^. 1000 N ^. 0,01 m = 1000 Nm

Mz = 50 kN cm = 500 Nm

Transformation der Schnittlasten auf die Hauptachsen

Da der Querschnitt unsymmetrisch ist, müssen die auf die Achsen y, z bezogenen Schnittgrößen auf die Hauptachsen (η,ζ) transformiert werden.

Mη = My ^. cos α + Mz ^. sin α

Mζ = - My ^. sin α + Mz ^. cos α

Mη = 100 ^. 0,967 + 50 ^. 0,253

Mζ = -100 ^. 0,253 + 50 ^. 0,967

Mη = 109,35 kN cm

Mζ = 23,05 kN cm

σ_x = 0/ 8,71 + [109,35 kN cm/ 95,4 cm⁴] ^. ζ + [23,05/ 9,92 cm⁴] ^. η

σ_y = 0 + 1,146 ^. ζ + 2,323 ^. η kN/ cm³

Die Spannung σ_x ist zum Beispiel an der rechten unteren Ecke des ungleichschenkligen Winkels, Koordinaten

(η = w₂ = 4,39 cm / ζ = -v₂ = -3,00 cm)

σ_x = 6,76 kN/ cm² = 67,6 N/ mm²

Die Koordinaten der Punkte, in denen die größten Spannungswerte auftreten, können bei Normprofilen aus den Tabellenwerten w, v ermittelt werden. Andernfalls müsste man die Koordinaten (x, y) eines Punktes auf das Hauptachsensystem (η,ζ) umrechnen.

x₁ = ( η₁ , ζ₁ )^T = R x

η₁ = x ^. cos α + y ^. sin α

ζ₁ = -x ^. sin α + y ^. cos α

Transformation z.B. des Punktes (x, y) = (1,05 / 3,51) =

linke untere Ecke des Winkels

η₁ = 1,05 ^. 0,967 + 3,51 ^. 0,253

ζ₁ = -1,05 ^. 0,253 + 3,51 ^. 0,967

η₁ = 1,903 cm

ζ₁ = 3,128 cm

Gleichung der Spannungsnulllinie und Winkel β zwischen Nulllinie und Achse η.

ζ = η ^. (Mζ ^. Iη)/ (Mη ^. Iζ) – (N ^. Iη )/( Mη ^. A )

ζ = η ^. tan β – (N ^. Iη )/( Mη ^. A )

tan β = (Mζ ^. Iη)/ (Mη ^. Iζ )

tan β = (23,05 ^. 95,4)/ (109,35 ^. 9,92)

tan β = 2,027

β = 63,74 Grad

Viele weitere Beispiele auf http://content.schweitzer-online.de/static/catalog_manager/live/media_files/representation/zd_std_orig__zd_schw_orig/018/871/256/9783817118717_content_pdf_1.pdf

Schiefe Biegung eines Balkens

Der Momentenvektor der Schnittlast ist in Komponenten Mζ , Mη zu zerlegen (im Beispiel bereits erfolgt). Die Verschiebungen in Richtung der Hauptachsen η,ζ werden so berechnet, wie oben in den Beispielen gezeigt. Gegebenenfalls hat der Balken unterschiedliche Lagerungsbedingungen in den verschiedenen Ebenen der Hauptachsen. Die Durchbiegungen in den beiden Ebenen können als Vektor zu einem resultierenden Vektor der Durchbiegung entweder geometrisch oder rechnerischer zusammengefasst werden.

Siehe auch: https://www.mechbau.uni-stuttgart.de/ls2/Downloads/Formelsammlung_TM2.pdf

Bewertung der Beanspruchung durch Berechnung einer Vergleichsspannung (Festigkeitshypothesen)

Der Spannungszustandes wird durch den Spannungstensor dargestellt. Dieser enthält (da die Schubspannungen paarweise gleich sind) im dreidimensionalen Fall sechs verschiedene Spannungswerte. Durch die Transformation des Spannungstensors in das Hauptachsensystem werden die Schubspannungen zu NULL. Die drei Hauptspannungen vermögen daher den Spannungszustand ebenfalls zu beschreiben.

Bei der Berechnung der Vergleichsspannung wird nun der Vektor der Hauptspannungen bzw. werden die Komponenten des Spannungstensors in einen Skalar abgebildet.

Dies ist notwendigerweise mit einem Informationsverlust verbunden. Die Vergleichsspannung soll zudem ein Maß für das mögliche Versagen des Materials sein. Es gibt für die verschiedenen Materialien unterschiedliche Festigkeitshypothesen bzw. Vergleichspannungshypothesen. Die Abweichungen vom realen Verhalten des Stoffes sind zum Teil erheblich. Wir behandeln hier nur die für den Baustoff Stahl maßgebliche Vergleichsspannung.

Gestaltänderungshypothese Nach der Gestaltänderungshypothese (von Mises) tritt Versagen des Bauteils auf, wenn die Gestaltänderungsenergie einen maximalen Wert überschreitet. Verwendet wird diese Hypothese für zähe Werkstoffe (z.B. Stahl) unter ruhender und wechselnder Beanspruchung. Die Hypothese wird im Maschinenbau und im Bauwesen eingesetzt. Nicht brauchbar ist sie bei nahezu hydrostatischen Spannungszuständen.

Formel für die Mises-Vergleichsspannung im allgemeinen Spannungszustand:

Berechnung mit Hauptspannungen

Berechnung im ebenen Spannungszustand

Berechnung im ebenen Verzerrungszustand

Siehe auch: https://www.mechbau.uni-stuttgart.de/ls2/Downloads/Formelsammlung_TM2.pdf

Berechnung der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese in dem gekennzeichneten Punkt an der Einspannstelle folgender Konstruktion

Vorgegebene Daten:

Warmgefertigtes rechteckiges Hohlprofil 200 x 100 x 6 nach DIN EN 10 219-2 (11.97)

Statische Werte aus der Tabelle eines Handbuches

A = 33,6 cm² = 3360 mm²

I_y = 1703 cm⁴ = 1704 104 mm⁴

I_z = 577 cm⁴ = 577 104 mm⁴

I_T = 1417 cm⁴

Länge L = 500 mm

Belastung im Punkt A(x=500; y=50; z=100 mm) ist der Kraftvektor

(F_x,d ; F_y,d )^T

F_x,d = N = -10 000 N

F_y,d = -10 000 N

Anm. Die in der Zeichnung dargestellten Kraftvektoren zeigen in die positive Richtung.

Y ist die Richtung der Achse, zu der die Kraft parallel ist.

d steht für „design“ und deutet darauf hin, dass der Wert der Bemessungswert ist. Bemessungswerte entstehen aus den sogenannten charakteristischen Werten (Werten im Gebrauch, Index K) durch Multiplikation mit zwei Beiwerten:

γ_F = Teilsicherheitsbeiwert der Einwirkung (bei ständiger Einwirkung z.B. 1,35)

ψ = Kombinationsbeiwert (in den meisten Fällen 1)

F_d = F_k ^. γ_F ^. ψ

Siehe dazu: https://www.bundesanzeiger-verlag.de/fileadmin/BIV-Portal/Bautechnik_WKD/Schneider-Bautabellen/Ingenieure/Fachinformationen/BTI%2003%20Lastannahmen%20nach%20DIN%201055.pdf

In diesem Beispiel werden nicht die charakteristischen Werte aus einer Statik ermittelt, sondern (ausnahmsweise) die Bemessungswerte (Index d) vorgegeben.

Schnittlasten an der Stelle, x = 500, im Schwer- und Symmetriepunkt

O(x=500; y=0; z=0)

Die Eingeprägten Kräfte werden in den Schwerpunkt des Profils verschoben.

M_y = F_x,d ^. 100 = -10 000 ^. 100 = 1000 000 N mm

M_z = - F_x,d ^. 50 = -(-10 000) ^. 50 = 500 000 N mm

M_x = M_T = - F_y,d ^. 100 = -(-10 000) ^. 100 =

1000 000 N mm

Schnittlasten an der Einspannstelle, im Schwer- und Symmetriepunkt

O(x=0; y=0; z=0)

F_x,d bewirkt ein zusätzliches Biegemoment

M_z = F_y,d ^. 100 = -10 000 ^. 100 = -1000 000 N mm

F_x,d bewirkt an der Einspannstelle keine Änderung der Schnittlasten.

Die resultierenden Schnittlasten an der Einspannstelle sind demnach

F_x,d = N = -10 000 N

F_y,d = V_y,d = -10 000 N

M_y = 1000 000 N mm

M_z = 500 000 -1000 000 = -500 000 N mm

M_x = M_T = 1000 000 N mm

Berechnung der Spannungskomponenten im an der Einspannstelle frei gewählten Punkt A(x=0; y=-50; z=100) ist

σ_x = -10 000 N/ (3360 mm²) +

(1000 000 N mm ^. 100 mm)/ (1703 ^. 10³ mm⁴) –

(-500 000 ^. (-50)/ (577 ^. 10³ mm⁴) =

-2,98 + 58,7 – 43,3 = 12,39 N/ mm²

Die Schubspannung infolge V_y,d ist in A Null.

Die Schubspannung infolge M_T ist

A_m = (200 – 6) ^. (100 -6) = 18 236 mm²

t = 6 mm

−τ =(1000 000 N mm)/(2 ^. 18 236 mm^{2 .} 6 mm) = 4,57 N/ mm²

Berechnung der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese

σ_x = 12,39 N/ mm²

σ_y = 0 N/ mm²

τ = 4,57 N/ mm²

σ_V,d = 14,7 N/ mm² Entwurfsvergleichspannungswert

Nachweis der Tragsicherheit in dem Punkt A

γ_M = Teilsicherheitsbeiwert der Widerstandsgröße

γ_M = 1,1 zur Berechnung der Bemessungswerte der Festigkeiten beim Nachweis der Tragsicherheit, z.B. der Wert 1,1, kann Tabellen entnommen werden.

f_y,k = Streckgrenze N/ mm²

(bei Baustahl S235, t<= 40 mm, f_y,k = 240 N/ mm²)

σ_R,d = fy,k/ γ_M

σ_R,d = 240/ 1,1 = 218 N/ mm²

σ_V,d / σ_R,d = 14,7 / 218 = 0,07 < 1

(das heißt, eine sehr geringe Ausnutzung)

Zum Nachweis der Tragsicherheit der Konstruktion müssen weitere Punkte berechnet werden.

Bei dem Nachweis in einem Punkt auf einem horizontalen Abschnitt des Profils muss zusätzlich die Schubspannung infolge Querkraft V_y berücksichtigt werden.

Siehe auch: https://www.mechbau.uni-stuttgart.de/ls2/Downloads/Formelsammlung_TM2.pdf