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Statik

Festigkeitslehre

Kinematik

Energieerhaltung

Aufstellung von Schwingungsgleichungen

 

 

Diskrete Schwingungssysteme

Aufstellung der Gleichungen

Letztes Update am 08.05.16

Einleitung

Newtonsche Mechanik

Das D’Alembertsche Prinzip

Definition der verwendeten Symbole

Eigenfrequenz und Kreiseigenfrequenz

Verschiedene Formen und Anordnungen von Federn

 

1.                   Freie Schwingung eines Massenpunktes

2.                   Freie Schwingung eines Pendels (mathematisches Pendel)

3.                   Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht, die (als

4.                   Freie Schwingung einer Masse mit einer Feder und einem Schwingungsdämpfer

5.                   Ein Schema zur Aufstellung von Schwingungsgleichungen

6.                   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem Schwingungsdämpfer; Erregung der Masse m

7.                   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem Schwingungsdämpfer; Erregung der Federaufhängung

8.                   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem Schwingungsdämpfer; Erregung der Aufhängung des Schwingungsdämpfers

9.                   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem Schwingungsdämpfer; indirekte Erregung über das Gehäuse

10.               Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht und dabei auf der Unterlage rollt

11.               Torsionsschwingung

12.               Pendel mit Feder und Schwingungsdämpfer

13.               Feder und Dämpfer an Masse m unter Kraft F und Eigengewicht G

14.               Feder und Dämpfer an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist

15.               Federn an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist

16.               Federn an Massen m1 und m2; auf m1 wirkt eine Kraft

17.               Federn an Massen m1 und m2

 

Einleitung

Es werden nur die Gleichungen der Bewegung aufgestellt, und zwar mit Hilfe der

Newtonschen Mechanik,

insbesondere dem dynamischen Grundgesetz der Translation bzw. Rotation.

 

Für die meisten technischen Systeme ist die Masse m während der Bewegungsänderung konstant. Das zweite Newtonsche Gesetz lautet für die Translation

 

 

wobei \mathbf a im 1-dimensionalen Fall die Beschleunigung in Richtung x sei. Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichungen wird hier nur die x-Komponente betrachtet.

 

Außer der Translation werden auch Gleichungen von Rotationsschwingungen aufgestellt werden. Dazu wird hier das dynamische Grundgesetz für Rotationen verwendet. Die Bewegungsgleichung eines um die Achse z drehenden Körpers ist

und heißt (polares Massen-) Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der z-Achse .

Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist es aber auch möglich, das d’Alembertsche Prinzip anzuwenden. Die folgenden Ausführungen sollen nur ein Hinweis darauf sein.

 

Das D’Alembertsche Prinzip

 

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean Baptiste le Rond d'Alembert) überträgt das Prinzip der virtuellen Arbeit der Statik (Zi sind die Reaktions- bzw. Zwangskräfte; Fi und die „eingeprägten“ äußeren Kräfte)

auf die Dynamik. In der Dynamik betrachtet man im Kräftegleichgewicht auch noch die Trägheitskräfte:

Das Produkt mit den virtuellen Verschiebungen stellt die Arbeit infolge dieser Verschiebungen dar. Jedoch leisten die Zwängungskräfte keine Arbeit, Somit lautet das d´Alembertsche Prinzip (in der Formulierung von Lagrange)

Die Bewegungsgleichungen folgen aus dem Verschwinden der Koeffizienten der virtuellen Verschiebungen. Für holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte, - das sind solche, die sich aus einer Potentialfunktion ableiten lassen -, entspricht das d´Alembert-Prinzip den Lagrangegleichungen erster Art.

 

Definition der verwendeten Symbole

 

Amplitude A; dim A = m

Wert der Verschiebung von der Mittellage.

Störfrequenz f; [f] =Hz oder Erregerfrequenz

Mehr: https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Erzwungene_Schwingungen

https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Anregung_einer_Schwingung

Selbsterregte Schwingungen

Im Gegensatz zu den erzwungenen Schwingungen wird die Frequenz der Energiezufuhr nicht von außen vorgegeben, sondern wird durch den Vorgang selbst bestimmt und folgt aus den dynamischen Eigenschaften des Systems.

Frequenz f; [f] =Hz

Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit.

Masse m [m] = kg

Masse, in der Regel die schwingende Masse bei schwingungsfähigen Systemen.

Federkraft F; [F] = N

Kraft, die von einer Feder auf die schwingende Masse ausgeübt wird.

Einfederung d; dim m = m

Verformung der Feder von der Neutrallage. Hier in diesem Skript auch mit x oder x0 bezeichnet

Statische Federsteifigkeit Kstat , N/m

Erforderliche Kraft in Newton, um die Feder 1 m zu komprimieren.

Dynamische Federsteifigkeit Kdyn , N/m oder Federkonstante. Mehr: https://de.wikipedia.org/wiki/Federkonstante

Federsteifigkeit, wenn eine wechselnde Kraft einwirkt.

Abstimmverhältnis Z (-)

Verhältnis zwischen der Störfrequenz f und der Eigenfrequenz f°. Das Verhältnis von Störfrequenz zu Eigenfrequenz bezeichnet man auch als Abstimmungsverhältnis.

Störkraft Fs; [Fs] = N

Periodisch wirkende Kräfte oder Verschiebungen auf die Struktur führen zu erzwungenen Schwingungen. Die Schwingungsfrequenz wird durch die Anregung bestimmt. Die Amplitude hingegen folgt aus dem Eigenverhalten des schwingenden Systems. Erzwungene Schwingungen können z.B. durch Unwuchten auftreten.

Dämpfungskoeffizient c; dim c = Ns/m

Linearer Dämpfungskoeffizient der inneren Reibung.

Kritische Dämpfung ckr  Ns/m

Linearer Dämpfungskoeffizient der inneren Reibung bei kritischer Dämpfung. Ein System wird als kritisch gedämpft betrachtet, wenn es ohne Überschwingung nach einer Verschiebung in seine anfängliche statische Position zurückkehrt.

Dämpfungsfaktor D (-)

Verhältnis zwischen c und ckr.

Einfederung dstat ; [dstat] = mm oder m

Statische Einfederung einer Feder.

 

Eigenfrequenz und Kreiseigenfrequenz

Die Kreiseigenfrequenz ist

Die Schwingungsdauer ist

Die Kreiseigenfrequenz ist bei einem schwingungsfähigen System mit einer Masse auch

Die Eigenfrequenz ist

 

Verschiedene Formen und Anordnungen von Federn

In den unten folgenden Beispielen können Federn auch aus mehreren Federn zusammengesetzt sein, jedoch nur, wenn sie als masselos angesehen werden können..

 

Balken als Feder

 

Kreiseigenfrequenz

 

Beispiel für System aus elastischem Balken und Feder mit symmetrischer Anordnung der Druckfeder in Bezug auf den Balken. Da die Auslenkung der beiden Federn gleich ist, spricht man von einer Parallelschaltung der Federn.

K = k1 + K2

 

Weiteres Beispiel für Federn (Balken und Druckfeder) deren Verschiebungswege sich im Befestigungspunkt der Druckfeder addieren.

Beispiel: Berechnen Sie den Wert des Flächenmomentes 2. Grades so, dass die Schwingungsdauer T des Balkens 0,2 s beträgt. Die Masse am Ende des Kragarms ist 10 kg.

Der Elastizitätsmodul des Balkens ist E = 20 . 1010 Pa = 20 . 1010  N/m2

 

Einem Formelbuch entnehmen wir die Durchbiegung des Kragarmes unter einer Einzellast am rechten Ende des Kragarms. Der Balken wird als masselos angenommen.

c = 3 m   Länge des Kragarmes

L = 2 m   Länge des beidseitig gelagerten Feldes

Der Querschnitt sei ein Rechteck, dessen Flächenmoment 2. Grades

Ist.  Annahme: h = 2 b

 

Beispiel: Hier handelt es sich um eine Parallelschaltung von Federn. Die Federwege sind gleich.

Einem Formelbuch wird für die Durchbiegung des beidseitig eingespannten Balkens unter Einzellast in der Mitte entnommen

Diese Formel hat die Form des Hookeschen Gesetzes in der K

Ist. Die Kreiseigenfrequenz ist

Wobei angenommen wurde, dass die Masse in einem Punkt konzentriert ist bzw. der Balken masselos ist.

 

Beispiel für Federn (Balken und Schraubenfeder), die in Reihe angeordnet sind, so dass sich die Wege der Federn addieren

(Reihenschaltung).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Federsteifigkeit des Balkens ist oben angegeben und kann in die Formel eingesetzt werden.

 

Beispiel: Bei einem Stockwerkrahmen sind die Stiele fest eingespannt.  Bei einer Verschiebung der Rahmen ergibt sich das dargestellte Deformationsbild.

 

 

Die Deformation eines Rahmenstiels entspricht der gegenseitigen Verschiebung um einen Betrag w, wobei die Enden des Stiels keine Drehungen erfahren. An den Enden, den Einspannstellen, treten Momente M auf, deren Formel einem Tabellenbuch für Ingenieure entnommen wird.

Die Kräfte F senkrecht zum Stiel an den Auflagern entsprechen dem Versetzungsmoment der Einspannmomente M.

Da die zwei Einspannmomente M gleich orientiert sind, ist die Auflagerkraft A

.

Da sich die Deformationen der beiden Stiele bzw. Federn addieren, liegt eine Reihenschaltung vor.

 

Torsionsfeder

Die Federsteifigkeit der Torsionsfeder ist

 

Erinnert sei hier an den Schwerpunktsatz. Dieser erlaubt es zwei Massen durch einen Massenpunkt im gemeinsamen Schwerpunkt zu ersetzen. Im Allgemeinen ergibt sich dadurch keine Vereinfachung der Berechnung.

 

 

Beispiele für die Aufstellung der Bewegungsgleichungen für schwingungsfähige Systeme

Weitere Grundlagen und Begriffe sind zu finden unter  [i]

 

1.   Freie Schwingung eines Massenpunktes

 

·              Schnitt um die Masse m.

·              Darstellung der positiven Richtung für den Weg x

·              Die Kraft FK wirkt in positiver Richtung auf die Masse, wenn die Feder zusammengedrückt wird.

Gleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom für die Beschleunigung und die Masse m durch eine positiv gerichtete Kraft F

- m . d2 x / dt2 = FK = x . K

Hier wirkt der negativen Beschleunigungsrichtung der Masse m eine positiv gerichtet Kraft FK entgegen, wodurch die Masse eine Verzögerung erfährt.

Nach dem d’Alembertschen Prinzip würden in die Gleichung

m . d2 x / dt2  -  F = 0

der Wert der negativen Beschleunigung und der positiven Kraft  F einzusetzen sein.

-m . d2 x / dt2  -  FK = 0  bzw.

m . d2 x / dt2  +  FK = 0

Die Ergebnisse nach Newton und d’Alembert sind gleich.

Normalform der Differenzialgleichung

Lösungsansatz (hier: 2 Formen, die ineinander überführbar sind; siehe z.B.  mathematisches Formelbuch). 

Dabei nennt man A bzw. C1 bzw. C2  die Amplitude der Schwingung und α die Phasenverschiebung.

Einsetzen in die Dgl. führt auf die charakteristische Gleichung (hier quadratische Gleichung) für  die  Eigenkreisfrequenz ω1.

ω1 ist die Kreiseigenfrequenz. Häufig wird in Aufgaben nach dieser gefragt, so dass die Bewegungsdifferenzialgleichung auf die sogenannte Normalform zu bringen ist, in der der Faktor der zweiten bzw. höchsten Ableitung 1 ist.

  ω1 / (2 π) = f1

ist die Eigenfrequenz. Des öfteren wird ω1 als Eigenfrequenz bezeichnet.

Eigenschwingungen sind freie Schwingungen eines Schwingers, auf den keine Erregerkräfte wirken. Im Gegensatz dazu sind erzwungene Schwingungen solche, die unter dem Einfluss äußerer Kräfte entstehen. Eigenschwingungen sind demnach nur von den Eigenschaften des Schwingers abhängig.

Einsetzen von Anfangsbedingungen in die Lösung liefert Ausdrücke bzw. Werte für die Konstanten C1 und C2 in den Lösungsansätzen.

Beispiel für Anfangsbedingungen:

 

Eine ausführliche Darstellung zu den Lösungsfunktionen ist zu finden unter  [ii]

 

2.   Freie Schwingung eines Pendels (mathematisches Pendel)

 

Polares Massenträgheitsmoment J (bzw. hier I)

Newtonsche Momentengleichung

M = I . a       oder

Das Moment wirkt der (durch Definition angenommenen) positiven

Beschleunigungs- und Drehmomentenrichtung entgegen und ist negativ.

Die nichtlineare Dgl. 2. Ordnung wird vereinfacht durch

Die Eigenkreisfrequenz ist mit dieser Vereinfachung genau für Schwingungen bis etwa 6 Grad Auslenkung

Zusatzaufgabe: Schreiben Sie die Bewegungsgleichung für ein Pendel auf, bei dem in 2/3 Abstand vom Drehpunkt ein weiteres Gesicht angeordnet ist.

Ähnliche Aufgabe: siehe  [iii]

 

3.   Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht,

die (als Erzeugende) auf der Peripherie des Zylinders liegt

FG = m . g = Gewichtskraft des Körpers

g = Erdbeschleunigung

m = Masse des Körpers (dargestellt wird ein Zylinder)

S = Schwerpunkt des Körpers

Is = Polares Massenträgheitsmoment des Körpers bezogen auf den Schwerpunkt des Körpers

Polares Massenträgheitsmoment des Körpers bezogen auf die Drehachse auf der Peripherie

Ip = Is + m . r2

Drehwinkel φ

Drehmoment um den Momentanpol auf der Peripherie M = sin φ  . r . FG

Der Momentanpol ist der Punkt, für den die Bewegung des Körpers als reine Drehung um diesen Punkt dargestellt werden kann. Bei der Bewegung eines Körpers in der Ebene kann seine Lage dadurch bestimmt werden, indem man in zwei Punkten des Körpers die Senkrechte auf den Geschwindigkeitsvektor in dem jeweiligen Punkt errichtet. Ihr Schnittpunkt ist der Momentanpol.

 

 

 

 

Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung; kann nach Is  aufgelöst werden und zu dessen Ermittlung bei beliebig geformten Körpern verwendet werden.

Eigenkreisfrequenz

 

4.   Freie Schwingung einer Masse mit einer Feder und einem Schwingungsdämpfer

 

 

Die Masse wird freigeschnitten, um die Kräfte und deren Vorzeichen zu ermitteln, die bei einer Bewegung von m in positiver Richtung auf m einwirken. Die Lage des verschobenen Körpers ist durch eine Strichlinie dargestellt. Es wird angenommen, dass die Beschleunigung ebenfalls eine positive Richtung hat (Die Rechnung kann das Gegenteil ergeben). Dann lautet die Bewegungsgleichung m . a = ∑ F nach dem 2. Newtonschen Axiom, wobei die Kräfte F die eingeprägten und Reaktionskräfte (das heißt alle Kräfte) sind. Bei dieser Vorgehensweise gehen bereits Ergebnisse ein, z.B. über Vorzeichen. Korrekter wäre es, alle Gleichungen (Newton, Feder, Dämpfung, Anfangsbedingungen) als sogenannte konstitutive Gleichungen aufzuschreiben und zu lösen. Dies wird bei diesen Aufgaben praktisch immer vermieden. Bei schwierigeren Aufgaben werden andere Methoden angewendet.

  K/m = ω2

 

  c/m = 2  .  δ  := Abklingkoeffizient

 

Ein Schema zur Aufstellung von Schwingungsgleichungen ist:

 

  1. Wie viel Massen können schwingen?
  2. Welche kinematischen Zwängungen gibt es? Bestimmung von Drehachsen und ggf. Momentanpolen.
  3. Jede Masse wird freigeschnitten.
  4. Die Masse wird bestimmt und bei Drehbewegungen das Trägheitsmoment; zunächst das Trägheitsmoment bezüglich einer  (angenommenen) Drehachse durch den Schwerpunkt der Masse und addiert dann ggf. den Steinerschen Anteil hinzu.
  5. Es werden positive Richtungen für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Wege bzw. Drehwinkel festgelegt. Unter Berücksichtigung der kinematischen Zwängungen wird eine ausgelenkte Lage der Masse in Richtung einer positiv orientierten Beschleunigung dargestellt.
  6. Die eingeprägten Kräfte und Momente werden eingezeichnet. Notwendigerweise wird ihnen die gleiche positive Richtung wie der Beschleunigung zugeordnet, denn so verlangt es das 2. Newtonsche Grundgesetz. Man kann natürlich auch umgekehrt erst die positiven Richtungen der eingeprägten Kräfte und Momente festlegen und dann die zu ihnen gleich orientierten Beschleunigungen.
  7. Üblicherweise sind die Reaktionskräfte und Reaktionsmomente (Zwängungskräfte) den Einprägungen entgegen gerichtet, also negativ orientiert. Für einzelne Zwängungen kann im Zuge der Berechnung auch eine andere Richtung als Ergebnis rauskommen; bei einfachen Konstellationen, wie denen in diesem Kapitel dürfte das nicht vorkommen. In der Statik ist es genauso: Man legt die positiven Richtungen der Einprägungen fest und ebenfalls, aber meist mit entgegen gesetzter Orientierung, die Richtungen der Reaktionen. Wie man weiß, kann dann aus der Berechnung folgen, dass eine Auflagerkraft als Reaktionskraft eine andere Orientierung haben kann als zunächst angenommen. Wichtig ist: positive Richtungen für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Wege bzw. Drehwinkel müssen festgelegt werden; alternativ die positiven Richtungen eingeprägter Kräfte und Momente.
  8. Nach diesen Regeln werden an den Grenzen des um eine schwingende Masse gelegten Schnittes die eingeprägten Größen sowie Reaktionsgrößen eingetragen.
  9. Dann wird für jede Masse in jeder Richtung zulässiger Bewegungen die Grundgleichung nach Newton aufgestellt. Man beachte, dass Beschleunigungen und Kräfte auf verschiedenen Seiten der Gleichung einzutragen sind.

 

Die Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichungen werden im 2. Teil behandelt. Die Lösung kann jedoch auch unter Verwendung eines Computeralgebrasystems ermittelt werden, hier mit dem Programm Maxima; die Koeffizienten der Dgl. wurden willkürlich gewählt:

 


Die Konstanten %sk1 und %sk2 werden aus Anfangsbedingungen ermittelt.


5.   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und

einem Schwingungsdämpfer; Erregung der Masse m

 

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom

Beispiel für die Funktion der Kraft F

 

 

Eine ausführliche Darstellung über erzwungene Schwingungen ist unter  [iv]   zu finden.


6.   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem

Schwingungsdämpfer; Erregung der Federaufhängung

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom


7.   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem

Schwingungsdämpfer; Erregung der Aufhängung des Schwingungsdämpfers

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F

 

8.   Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem

Schwingungsdämpfer; indirekte Erregung über das Gehäuse

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F


9.   Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht und dabei auf der Unterlage rollt

r = Radius des Zylinders

 

·              Schnitt um den Zylinder.

·              Darstellung der positiven Richtungen für den Weg x und die Drehung φ.

·              Die Kraft FR übt kein Moment bezüglich A aus, da sie durch den Momentanpol A geht.

·              Das durch die Federkraft FK bezüglich A ausgeübte Drehmoment ist negativ. Beim Aufstellen der Momentengleichng IA d2 φ / dt2 = MA um den Momentanpol A ist daher das Moment negativ.

 

Massenträgheitsmoment um den Momentanpol unter Berücksichtigung des Steinerschen Anteils

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom I . α = ∑ M

Kinematische Zwangsbedingung. Wird eingeführt, um als Variable der Bewegungsgleichung x einzuführen.

Kreiseigenfrequenz

 

10.   Torsionsschwingung

Die Torsionsfeder ist symbolisch dargestellt. Die Torsion eines Stabes wird in Band 2 unter „Schwingungen kontinuierlicher Systeme“ behandelt.

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom I . α = ∑ M

Das Moment wirkt hier entgegen der gemäß Annahme positiven Bewegungs-, Beschleunigungs- und Momentenrichtung.

Kreiseigenfrequenz

Sie ist π mal so groß wie die Eigenfrequenz.

 

11.   Pendel mit Feder und Schwingungsdämpfer

 

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom I . α = ∑ M

                                       

1.      Kraft infolge Feder . Hebel L

 

2.      Kraft infolge Dämpfer . Hebel L

 

3.      Moment um A infolge Eigengewicht des Stabes . Abstand Schwerpunkt Stab - A

 

4.      Moment um A infolge Gewicht m.g

 

Weitere Beispiele: siehe   [v]


12.   Feder und Dämpfer an Masse m unter Kraft F und Eigengewicht G

 

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F

Beispiel für die Funktion der Kraft F

 

13.   Feder und Dämpfer an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist

 

Kraft bei gegebener Masse m2 und Funktion über die Zeit

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F

 

14.   Federn an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist

 

 

Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F

Weitere Beispiele für Schwingungen mit einem Freiheitsgrad: siehe [vi]

15.   Federn an Massen m1 und m2; auf m1 wirkt eine Kraft

 

 

Bewegungsgleichungen für die Massen m1 und m2 nach dem 2. Newtonschen Axiom, m . a = ∑ F

Nach Umstellung


16.   Federn an Massen m1 und m2

Bewegungsgleichungen für die Massen m1 und m2 nach dem 2. Newtonschen Axiom  m . a = ∑ F

Hinweis auf die Lösung der gekoppelten Dgl.

Einsetzen der Lösungsansätze in die Differenzialgleichungen liefert die charakteristische Gleichungen für die Eigenwerte deren Determinante Null gesetzt wird, um die Eigenfrequenzen zu bestimmen.

Die Berechnung dieser Gleichungen wie auch aller anderer Gleichungen dieses Kapitels kann vorteilhaft mit einem Computer-Algebrasystem erfolgen, wie z.B. Euler oder Maxima.

Weitere Aufgaben Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden: siehe  [vii]



[i] http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM2/tm2-m13.pdf

Grundlagen und Begriffe zu schwingungsfähigen Systemen

 

[ii] http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM2/tm2-m14.pdf

Grundsätzliches über Lösungsfunktionen bei Schwingungen

 

[iii] http://www.mvm.uni-karlsruhe.de/download/Klausur-TM-III-31-08-2009-mit-Loesung.pdf

Aufgabe 2, Schwingung eines Winkels

 

[iv] http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM2/tm2-m15.pdf

Darstellung der Funktionen bei erzwungenen Schwingungen

 

[v] http://www.uni-siegen.de/fb11/nm/lehre/vorlesungen/tm3/loesungen/loesung_2009_februar.pdf

Aufgabe 2, schwingender Winkelhebel

 

[vi] http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/downloads/files/Mechanikaufgaben.pdf

S.263-286 Beispiele für Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

 

[vii] http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/downloads/files/Mechanikaufgaben.pdf

S. 287-292 Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden