Klausur-Beispiele
Aufstellung der Gleichungen
Letztes Update am 08.05.16. Überarbeitet am 27.07.2019
Definition der verwendeten Symbole
Eigenfrequenz und Kreiseigenfrequenz
Verschiedene Formen und Anordnungen von Federn
Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht, die (als
Freie Schwingung einer Masse mit einer Feder und einem Schwingungsdämpfer
Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht und dabei auf der Unterlage rollt
Feder und Dämpfer an Masse m unter Kraft F und Eigengewicht G
Feder und Dämpfer an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist
Es werden nur die Gleichungen der Bewegung aufgestellt, und zwar mit Hilfe der
insbesondere dem dynamischen Grundgesetz der Translation bzw. Rotation.
Für die meisten technischen Systeme ist die Masse m während der Bewegungsänderung konstant. Das zweite Newtonsche Gesetz lautet für die Translation
wobei
im 1-dimensionalen Fall die Beschleunigung
in Richtung x sei. Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichungen wird
hier nur die x-Komponente betrachtet.
Außer der Translation werden auch Gleichungen von Rotationsschwingungen aufgestellt werden. Dazu wird hier das dynamische Grundgesetz für Rotationen verwendet. Die Bewegungsgleichung eines um die Achse z drehenden Körpers ist
und
heißt (polares Massen-) Trägheitsmoment des Körpers
bezüglich der z-Achse .
Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist es aber auch möglich, das d’Alembertsche Prinzip anzuwenden. Die folgenden Ausführungen sollen nur ein Hinweis darauf sein.
Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean Baptiste le Rond d'Alembert) überträgt das Prinzip der virtuellen Arbeit der Statik (Zi sind die Reaktions- bzw. Zwangskräfte; Fi und die „eingeprägten“ äußeren Kräfte)
auf die Dynamik. In der Dynamik betrachtet man im Kräftegleichgewicht auch noch die Trägheitskräfte:
Das Produkt mit den virtuellen Verschiebungen stellt die Arbeit infolge dieser Verschiebungen dar. Jedoch leisten die Zwängungskräfte keine Arbeit, Somit lautet das d´Alembertsche Prinzip (in der Formulierung von Lagrange)
Die Bewegungsgleichungen folgen aus dem Verschwinden der Koeffizienten der virtuellen Verschiebungen. Für holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte, - das sind solche, die sich aus einer Potentialfunktion ableiten lassen -, entspricht das d´Alembert-Prinzip den Lagrangegleichungen erster Art.
Definition der verwendeten Symbole
Amplitude A; dim A = m
Wert der Verschiebung von der Mittellage.
Störfrequenz f; [f] =Hz oder Erregerfrequenz
Mehr: https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Erzwungene_Schwingungen
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Anregung_einer_Schwingung
Selbsterregte Schwingungen
Im Gegensatz zu den erzwungenen Schwingungen wird die Frequenz der Energiezufuhr nicht von außen vorgegeben, sondern wird durch den Vorgang selbst bestimmt und folgt aus den dynamischen Eigenschaften des Systems.
Frequenz f; [f] =Hz
Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit.
Masse m [m] = kg
Masse, in der Regel die schwingende Masse bei schwingungsfähigen Systemen.
Federkraft F; [F] = N
Kraft, die von einer Feder auf die schwingende Masse ausgeübt wird.
Einfederung d; dim m = m
Verformung der Feder von der Neutrallage. Hier in diesem Skript auch mit x oder x0 bezeichnet
Statische Federsteifigkeit Kstat , N/m
Erforderliche Kraft in Newton, um die Feder 1 m zu komprimieren.
Dynamische Federsteifigkeit Kdyn , N/m oder Federkonstante. Mehr: https://de.wikipedia.org/wiki/Federkonstante
Federsteifigkeit, wenn eine wechselnde Kraft einwirkt.
Abstimmverhältnis Z (-)
Verhältnis zwischen der Störfrequenz f und der Eigenfrequenz f°. Das Verhältnis von Störfrequenz zu Eigenfrequenz bezeichnet man auch als Abstimmungsverhältnis.
Störkraft Fs; [Fs] = N
Periodisch wirkende Kräfte oder Verschiebungen auf die Struktur führen zu erzwungenen Schwingungen. Die Schwingungsfrequenz wird durch die Anregung bestimmt. Die Amplitude hingegen folgt aus dem Eigenverhalten des schwingenden Systems. Erzwungene Schwingungen können z.B. durch Unwuchten auftreten.
Dämpfungskoeffizient c; dim c = Ns/m
Linearer Dämpfungskoeffizient der inneren Reibung.
Kritische Dämpfung ckr Ns/m
Linearer Dämpfungskoeffizient der inneren Reibung bei kritischer Dämpfung. Ein System wird als kritisch gedämpft betrachtet, wenn es ohne Überschwingung nach einer Verschiebung in seine anfängliche statische Position zurückkehrt.
Dämpfungsfaktor D (-)
Verhältnis zwischen c und ckr.
Einfederung dstat ; [dstat] = mm oder m
Statische Einfederung einer Feder.
Eigenfrequenz und Kreiseigenfrequenz
Die Schwingungsdauer ist
Die Kreiseigenfrequenz ist bei einem schwingungsfähigen System mit einer Masse auch
Die Eigenfrequenz ist
Verschiedene Formen und Anordnungen von Federn
In den unten folgenden Beispielen können Federn auch aus mehreren Federn zusammengesetzt sein, jedoch nur, wenn sie als masselos angesehen werden können..
Balken als Feder
Kreiseigenfrequenz
Beispiel für System aus elastischem Balken und Feder mit symmetrischer Anordnung der Druckfeder in Bezug auf den Balken. Da die Auslenkung der beiden Federn gleich ist, spricht man von einer Parallelschaltung der Federn.
K = k1 + K2
Weiteres Beispiel für Federn (Balken und Druckfeder) deren Verschiebungswege sich im Befestigungspunkt der Druckfeder addieren.
Beispiel: Berechnen Sie den Wert des Flächenmomentes 2. Grades so, dass die Schwingungsdauer T des Balkens 0,2 s beträgt. Die Masse am Ende des Kragarms ist 10 kg.
Der Elastizitätsmodul des Balkens ist E = 20 . 1010 Pa = 20 . 1010 N/m2
Einem Formelbuch entnehmen wir die Durchbiegung des Kragarmes unter einer Einzellast am rechten Ende des Kragarms. Der Balken wird als masselos angenommen.
c = 3 m Länge des Kragarmes
L = 2 m Länge des beidseitig gelagerten Feldes
Der Querschnitt sei ein Rechteck, dessen Flächenmoment 2. Grades
Ist. Annahme: h = 2 b
Beispiel: Hier handelt es sich um eine Parallelschaltung von Federn. Die Federwege sind gleich.
Einem Formelbuch wird für die Durchbiegung des beidseitig eingespannten Balkens unter Einzellast in der Mitte entnommen
Diese Formel hat die Form des Hookeschen Gesetzes in der K
Ist. Die Kreiseigenfrequenz ist
Wobei angenommen wurde, dass die Masse in einem Punkt konzentriert ist bzw. der Balken masselos ist.
Beispiel für Federn (Balken und Schraubenfeder), die in Reihe angeordnet sind, so dass sich die Wege der Federn addieren
(Reihenschaltung).
Die Federsteifigkeit des Balkens ist oben angegeben und kann in die Formel eingesetzt werden.
Beispiel: Bei einem Stockwerkrahmen sind die Stiele fest eingespannt. Bei einer Verschiebung der Rahmen ergibt sich das dargestellte Deformationsbild.
Die Deformationeines Rahmenstiels entspricht der gegenseitigen Verschiebung um einen Betrag w, wobei die Enden des Stiels keine Drehungen erfahren. An den Enden, den Einspannstellen, treten Momente M auf, deren Formel einem Tabellenbuch für Ingenieure entnommen wird.
Die Kräfte F senkrecht zum Stiel an den Auflagern entsprechen dem Versetzungsmoment der Einspannmomente M.
Da die zwei Einspannmomente M gleich orientiert sind, ist die Auflagerkraft A
.
Da sich die Deformationen der beiden Stiele bzw. Federn addieren, liegt eine Reihenschaltung vor.
Torsionsfeder
Die Federsteifigkeit der Torsionsfeder ist
Erinnert sei hier an den Schwerpunktsatz. Dieser erlaubt es zwei Massen durch einen Massenpunkt im gemeinsamen Schwerpunkt zu ersetzen. Im Allgemeinen ergibt sich dadurch keine Vereinfachung der Berechnung.
Beispiele für die Aufstellung der Bewegungsgleichungen schwingungsfähiger Systeme
1. Freie Schwingung eines Massenpunktes
Schnitt um die Masse m.
Darstellung der positiven Richtung für den Weg x
Die Kraft FK wirkt in positiver Richtung auf die Masse, wenn die Feder zusammengedrückt wird.
Gleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom für die Beschleunigung und die Masse m durch eine positiv gerichtete Kraft F
- m . d2 x / dt2 = FK = x . K
Hier wirkt der negativen Beschleunigungsrichtung der Masse m eine positiv gerichtet Kraft FK entgegen, wodurch die Masse eine Verzögerung erfährt.
Nach dem d’Alembertschen Prinzip würden in die Gleichung
m . d2 x / dt2 - F = 0
der Wert der negativen Beschleunigung und der positiven Kraft F einzusetzen sein.
-m . d2 x / dt2 - FK = 0 bzw.
m . d2 x / dt2 + FK = 0
Die Ergebnisse nach Newton und d’Alembert sind gleich.
Normalform der Differenzialgleichung
Lösungsansatz (hier: 2 Formen, die ineinander überführbar sind; siehe z.B. mathematisches Formelbuch).
Dabei nennt man A bzw. C1 bzw. C2 die Amplitude der Schwingung und α die Phasenverschiebung.
Einsetzen in die Dgl. führt auf die charakteristische Gleichung (hier quadratische Gleichung) für die Eigenkreisfrequenz ω1.
ω1 ist die Kreiseigenfrequenz. Häufig wird in Aufgaben nach dieser gefragt, so dass die Bewegungsdifferenzialgleichung auf die sogenannte Normalform zu bringen ist, in der der Faktor der zweiten bzw. höchsten Ableitung 1 ist.
ω1 / (2 π) = f1
ist die Eigenfrequenz. Des öfteren wird ω1 als Eigenfrequenz bezeichnet.
Eigenschwingungen sind freie Schwingungen eines Schwingers, auf den keine Erregerkräfte wirken. Im Gegensatz dazu sind erzwungene Schwingungen solche, die unter dem Einfluss äußerer Kräfte entstehen. Eigenschwingungen sind demnach nur von den Eigenschaften des Schwingers abhängig.
Einsetzen von Anfangsbedingungen in die Lösung liefert Ausdrücke bzw. Werte für die Konstanten C1 und C2 in den Lösungsansätzen.
B
eispiel
für Anfangsbedingungen:
2. Freie Schwingung eines Pendels
(mathematisches Pendel)
Polares Massenträgheitsmoment J (bzw. hier I)
Newtonsche Momentengleichung
Das Moment wirkt der (durch Definition angenommenen) positiven
Beschleunigungs- und Drehmomentenrichtung entgegen und ist negativ.
Die nichtlineare Dgl. 2. Ordnung wird vereinfacht durch
Die Eigenkreisfrequenz ist mit dieser Vereinfachung genau für Schwingungen bis etwa 6 Grad Auslenkung
Zusatzaufgabe: Schreiben Sie die Bewegungsgleichung für ein Pendel auf, bei dem in 2/3 Abstand vom Drehpunkt ein weiteres Gesicht angeordnet ist.
3. Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht,
die (als Erzeugende) auf der Peripherie des Zylinders liegt
FG = m . g = Gewichtskraft des Körpers
g = Erdbeschleunigung
m = Masse des Körpers (dargestellt wird ein Zylinder)
S = Schwerpunkt des Körpers
Is = Polares Massenträgheitsmoment des Körpers bezogen auf den Schwerpunkt des Körpers
Polares Massenträgheitsmoment des Körpers bezogen auf die Drehachse auf der Peripherie
Ip = Is + m . r2
Drehwinkel φ
Drehmoment um den Momentanpol auf der Peripherie M = sin φ . r . FG
Der Momentanpol ist der Punkt, für den die Bewegung des Körpers als reine Drehung um diesen Punkt dargestellt werden kann. Bei der Bewegung eines Körpers in der Ebene kann seine Lage dadurch bestimmt werden, indem man in zwei Punkten des Körpers die Senkrechte auf den Geschwindigkeitsvektor in dem jeweiligen Punkt errichtet. Ihr Schnittpunkt ist der Momentanpol.
Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung; kann nach Is aufgelöst werden und zu dessen Ermittlung bei beliebig geformten Körpern verwendet werden.
Eigenkreisfrequenz
4. Freie Schwingung einer Masse mit einer Feder und einem Schwingungsdämpfer
Die Masse wird freigeschnitten, um die Kräfte und deren Vorzeichen zu ermitteln, die bei einer Bewegung von m in positiver Richtung auf m einwirken. Die Lage des verschobenen Körpers ist durch eine Strichlinie dargestellt. Es wird angenommen, dass die Beschleunigung ebenfalls eine positive Richtung hat (Die Rechnung kann das Gegenteil ergeben). Dann lautet die Bewegungsgleichung m . a = ∑ F nach dem 2. Newtonschen Axiom, wobei die Kräfte F die eingeprägten und Reaktionskräfte (das heißt alle Kräfte) sind. Bei dieser Vorgehensweise gehen bereits Ergebnisse ein, z.B. über Vorzeichen. Korrekter wäre es, alle Gleichungen (Newton, Feder, Dämpfung, Anfangsbedingungen) als sogenannte konstitutive Gleichungen aufzuschreiben und zu lösen. Dies wird bei diesen Aufgaben praktisch immer vermieden. Bei schwierigeren Aufgaben werden andere Methoden angewendet.
K/m = ω2
c/m = 2 . δ := Abklingkoeffizient
Ein Schema zur Aufstellung von Schwingungsgleichungen ist:
Wie viel Massen können schwingen?
Welche kinematischen Zwängungen gibt es? Bestimmung von Drehachsen und ggf. Momentanpolen.
Jede Masse wird freigeschnitten.
Die Masse wird bestimmt und bei Drehbewegungen das Trägheitsmoment; zunächst das Trägheitsmoment bezüglich einer (angenommenen) Drehachse durch den Schwerpunkt der Masse und addiert dann ggf. den Steinerschen Anteil hinzu.
Es werden positive Richtungen für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Wege bzw. Drehwinkel festgelegt. Unter Berücksichtigung der kinematischen Zwängungen wird eine ausgelenkte Lage der Masse in Richtung einer positiv orientierten Beschleunigung dargestellt.
Die eingeprägten Kräfte und Momente werden eingezeichnet. Notwendigerweise wird ihnen die gleiche positive Richtung wie der Beschleunigung zugeordnet, denn so verlangt es das 2. Newtonsche Grundgesetz. Man kann natürlich auch umgekehrt erst die positiven Richtungen der eingeprägten Kräfte und Momente festlegen und dann die zu ihnen gleich orientierten Beschleunigungen.
Üblicherweise sind die Reaktionskräfte und Reaktionsmomente (Zwängungskräfte) den Einprägungen entgegen gerichtet, also negativ orientiert. Für einzelne Zwängungen kann im Zuge der Berechnung auch eine andere Richtung als Ergebnis rauskommen; bei einfachen Konstellationen, wie denen in diesem Kapitel dürfte das nicht vorkommen. In der Statik ist es genauso: Man legt die positiven Richtungen der Einprägungen fest und ebenfalls, aber meist mit entgegen gesetzter Orientierung, die Richtungen der Reaktionen. Wie man weiß, kann dann aus der Berechnung folgen, dass eine Auflagerkraft als Reaktionskraft eine andere Orientierung haben kann als zunächst angenommen. Wichtig ist: positive Richtungen für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Wege bzw. Drehwinkel müssen festgelegt werden; alternativ die positiven Richtungen eingeprägter Kräfte und Momente.
Nach diesen Regeln werden an den Grenzen des um eine schwingende Masse gelegten Schnittes die eingeprägten Größen sowie Reaktionsgrößen eingetragen.
Dann wird für jede Masse in jeder Richtung zulässiger Bewegungen die Grundgleichung nach Newton aufgestellt. Man beachte, dass Beschleunigungen und Kräfte auf verschiedenen Seiten der Gleichung einzutragen sind.
Die Lösung kann unter Verwendung eines Computeralgebrasystems ermittelt werden, hier mit dem Programm Maxima; die Koeffizienten der Dgl. wurden willkürlich gewählt:
Die Konstanten %sk1 und %sk2 werden aus Anfangsbedingungen ermittelt.
5. Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und
einem Schwingungsdämpfer; Erregung der Masse m
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom
6. Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem
Schwingungsdämpfer; Erregung der Federaufhängung
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom
7. Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem
Schwingungsdämpfer; Erregung der Aufhängung des Schwingungsdämpfers
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F
8. Erzwungene Schwingung einer Masse mit einem Feder- und einem
Schwingungsdämpfer; indirekte Erregung über das Gehäuse
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F
9. Freie Schwingung eines Zylinders, der sich um eine Achse dreht und dabei auf der Unterlage rollt
r = Radius des Zylinders
Schnitt um den Zylinder.
Darstellung der positiven Richtungen für den Weg x und die Drehung φ.
Die Kraft FR übt kein Moment bezüglich A aus, da sie durch den Momentanpol A geht.
Das durch die Federkraft FK bezüglich A ausgeübte Drehmoment ist negativ.
Beim Aufstellen der Momentengleichng IA d2 φ / dt2 = MA um den Momentanpol A ist daher das Moment negativ.
Massenträgheitsmoment um den Momentanpol unter Berücksichtigung des Steinerschen Anteils
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom I . α = ∑ M
Kinematische Zwangsbedingung. Wird eingeführt, um als Variable der Bewegungsgleichung x einzuführen.
Kreiseigenfrequenz
Die Torsionsfeder ist symbolisch dargestellt. Die Torsion eines Stabes wird in Band 2 unter „Schwingungen kontinuierlicher Systeme“ behandelt.
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom
Das Moment wirkt hier entgegen der gemäß Annahme positiven Bewegungs-, Beschleunigungs- und Momentenrichtung.
Kreiseigenfrequenz
Sie ist π mal so groß wie die Eigenfrequenz.
11. Pendel mit Feder und Schwingungsdämpfer
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom I . α = ∑ M
Kraft infolge Feder . Hebel L
Kraft infolge Dämpfer . Hebel L
Moment um A infolge Eigengewicht des Stabes . Abstand Schwerpunkt Stab - A
Moment um A infolge Gewicht m.g
12. Feder und Dämpfer an Masse m unter Kraft F und Eigengewicht G
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F
Beispiel für die Funktion der Kraft F
13. Feder und Dämpfer an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist
Kraft bei gegebener Masse m2 und Funktion über die Zeit
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F
14. Federn an Masse m, die mit einer Unwucht verbunden ist
Bewegungsgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F
15. Federn an Massen m1 und m2; auf m1 wirkt eine Kraft
Bewegungsgleichungen für die Massen m1 und m2 nach dem 2. Newtonschen Axiom, m . a = ∑ F
Nach Umstellung
16. Federn an Massen m1 und m2
Bewegungsgleichungen für die Massen m1 und m2 nach dem 2. Newtonschen Axiom m . a = ∑ F
Hinweis auf die Lösung der gekoppelten Dgl.
Einsetzen der Lösungsansätze in die Differenzialgleichungen liefert die charakteristische Gleichungen für die Eigenwerte deren Determinante Null gesetzt wird, um die Eigenfrequenzen zu bestimmen.
Die Berechnung dieser Gleichungen wie auch aller anderer Gleichungen dieses Kapitels kann vorteilhaft mit einem Computer-Algebrasystem erfolgen, wie z.B. Euler oder Maxima.
