Klausur-Beispiele

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Statik

Festigkeitslehre

Kinematik

Energieerhaltung

Aufstellung von Schwingungsgleichungen

 

 

Aufgaben zur Energieerhaltung

Letztes Update am 08.05.16

Inhaltsverzeichnis

 

Arbeit

Arbeit bei schrägem Kraftangriff

Hubarbeit

Umsetzung der chemisch gebundenen Energie von Holz in Hubarbeit

Reibungsarbeit

Beispiel: Summe von Energie der Lage, vermindert um die Reibungsenergie

Gesetz der Erhaltung der Energie

Beispiel: Rutscht ein Körper G = m . g auf einer schiefen Ebene ...

Beispiel: Auto fährt Schräge hinauf

Beispiel: Untersuchung der Bremsen eines Autos

Beispiel: Ein Skifahrer stürzt ...

Beispiel: Ein Skifahrer will die gegenüberliegenden Talstation mit der Bewegungsenergie erreichen

Federspannarbeit

Beispiel: Federspannarbeit und Reibungsarbeit

Arbeit bei Verschiebung der Kraft längs einer Raumkurve von A nach B.

Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie

Beispiel: In welcher Höhe ...

Beispiel: Berechne die Energie ...

Lösungsschema

Beispiel: Die BERNOULLl-Gleichung

Anwendung der vereinfachten Bernoulli-Gleichung in der Strömungslehre

 

Arbeit, Energie

 

Arbeit

Arbeit W = Kraft F . Verschiebung (oder Weg) s

Die SI-Einheit der Arbeit ist das Joule [J]. 1 Joule = 1 Newtonmeter [Nm].

 

Arbeit ist das Produkt von Kraft . Weg, entlang dem die Kraft wirkt. 1 Joule = 1 Nm = 1 Ws ist die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um eine Kraft von 1 Newton entlang eines Weges von 1 Meter wirken zu lassen.

 

Arbeit bei schrägem Kraftangriff

  W = F . s . cos a

Hat die Kraft nicht dieselbe Richtung wie die Verschiebung, dann wirkt nur die Komponente der Kraft an der Arbeit mit, die in Richtung der Verschiebung liegt.

Der Term auf der rechten Seite ist das Skalarprodukt der Vektoren F und s

Hubarbeit

  W = G . h = m . g . h

Beispiel  Der Heizwert von Holz. Umsetzung der chemisch gebundenen Energie in Hubarbeit

Der Heizwert von Holz sei 8 MJ/kg. Wie viel Meter lässt sich die Masse 100 kg mit der Energie von 1 kg Holz anheben, wenn der Wirkungsgrad des Kessels, der mit Holz befeuert wird, zusammen mit der Maschine, also der Gesamtwirkungsgrad η = 20 % beträgt?

Energie der Lage  = W = h . G = X . m

W = X . (100 [kg zu hebende Masse] . 9,81 [m/s2])

X [m] . (100 [kg zu hebende Masse] . 9,81 [m/s2]) =

0,20 Wirkungsgrad . 1 [kg Holz] . 8.000.000 [J/kg Holz]

X = 1631 [m]

Wenn einheitliche die Dimensionen m, kg, J vereinbart werden, lässt sich diese Gleichung auch so schreiben:

X . 100 . 9,81 = 0,20 . 1 . 8.000.000

X = 1631 [m]

Mit der Energie von 1 [kg] Holz kann die Masse 100 [kg] 1631 [m] gehoben werden.

 

 

Reibungsarbeit (auch: Reibarbeit)

           W = m . FN . s

 

Dissipative Energie infolge Reibung. Es kann sein, dass ein System nicht mehr konservativ ist, nämlich dann, wenn Reibung zu berücksichtigen ist. Reibungsarbeit

           W = m . FN . s

 

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann nur von einer Form in die andere übergehen.

 

Beispiel  Energie der Lage, vermindert um die Reibungsenergie ergibt die Energie der Bewegung

 

 (h1 - h2) . m.g - μ.FN . s = (m/2) . v²

 

In der Regel hängen (bei Klausuraufgaben) Reibungsweg s und Höhe h1, h2 geometrisch zusammen. Diese Geometrie bestimmt ebenfalls die Zerlegung der Gewichtskraft G in die Komponenten FR und FN. FN = G . cos … = m . g . cos … Nach Einsetzen kürzt sich m heraus und die Gleichung kann nach der gesuchten Größe aufgelöst werden.

 

Beispiel   Rutscht ein Körper G = m . g auf einer schiefen Ebene aus der Höhe h eine Ebene der Länge L mit Neigung α hinab und hat unten die Geschwindigkeit v, so ist

m.v2/2 + m.g . m . L. cos α = L.m.g.sin α

Im F,s - Diagramm entspricht die Fläche unter dem Graphen der Arbeit.

Entsprechend gilt:

Im p,V – Diagramm (Druck, Volumen) entspricht die Fläche unter dem Graphen der Arbeit.

 

Beispiel    Auto fährt Schräge hinauf

Ein Auto, Masse m, fährt eine Schräge hinauf.

L = 5,00 m

μ  = 0,1

v(0) = 3 m/s     Anfangsgeschwindigkeit

v(1) = 1 m/s     geforderte Mindest-Endgeschwindigkeit

Es werden die Dimensionen m, s, kg vereinbart.

a) Reicht die Anfangsgeschwindigkeit aus, um die Mindest-Endgeschwindigkeit erreichen zu können?

Die kinetische Energie im Punkt 0 reicht nicht aus, um die geforderte Mindest-Endgeschwindigkeit zu erreichen.

 

b) Der Fahrer nimmt den Motor zu Hilfe, jedoch gibt er zuviel Gas, so dass die Räder durchdrehen. Wie groß ist die zwischen den Punkten 1 und 2 geleistete Reibarbeit?

WR = m . g . cos α . μ . L

WR = m . 9,81 . 0,985 . 0,1 . 5 = m . 4,83    Nm

 

Die Bilanz der Energie (keine Energieerhaltung!) ist somit

m . g . cos α .  μ    +     ½ m . v(0)2   =   ½ v(1)2     +     m . g . h

 

Wie hoch ist die Geschwindigkeit im Punkt 1 nun?

4,83   + ½ 32 = ½ v(1)2 + 9,81. 0,87

v(1) = 1,26 m/s

Das Fahrzeug erreicht den Punkt 1.

 

c) Welche Anfangsgeschwindigkeit ist erforderlich, damit die Geschwindigkeit v(1) = 2 m/s erreicht wird?

4,83 + ½ v(0)2 = ½ 22 + 9,81. 0,87

v(0) = 3,38 m/s

 

Beispiel    Untersuchung der Bremsen eines Autos

Berechnen Sie aus dem Bremsweg eines Autos,

m = 1500 kg,

v = 72 km/h = 20 m/s

die Anpresskraft N der Bremsklötze.

 

T = ½ . m . v2 = ½ . 1500 kg . 202 m2/s2 = 300000 J = 300 kJ = 300 kNm

Die Reibungszahl ist  μ = 0,4

 

Wie groß ist die Anpresskraft N der Bremsklötze auf die Bremsscheibe, wenn das Auto nach 60 m zum Stehen kommt und

der Reifendurchmesser 0,50 m beträgt?

L = 60 m = n . π . 0,50

n = 38,2  = Anzahl der Reifenumdrehungen bis zum Stillstand

s = Weg eines Bremsklotzes auf der Bremsscheibe

Der Durchmesser des Kreises, den der Bremsklotz auf der Bremsscheibe beschreibt ist 0,24 m

s = 0,24 m . π . 38,2 = 28,8 m

Die Anzahl der Bremsen ist 4.

Die Anpresskraft der Bremsklötze ist N

Die Reibarbeit WR ist

WR = 4 . N . μ . s = 4 . N . 0,4 . 28,8 = N . 46,1

Die gesamte kinetische Energie wird in Reibarbeit umgewandelt

WR = T

N . 48,1 = 300000 J

N = 6507 N = 6,5 kN

 

Um wie viel Grad erwärmen sich die Bremsscheiben, wenn ihre Masse 24 kg beträgt?

Die Wärmekapazität von Eisen ist c=0,46 kJ/(kg K)

ΔW = c . m . ΔT

300 kJ = 0,46 kJ/(kg K) . 24 kg . ΔT

ΔT = 27 Grad

 

Beispiel     Reibung. Energieerhaltung

Ein Skifahrer stürzt bei einer Geschwindigkeit von v0 = 2 [m/s] und rutscht auf einer Eisbahn, die eine Neigung von 10 Grad hat, weiter. Er verliert dabei eine Höhendifferenz von 2,5 [m]. An das Eis schließt sich eine Schneepiste an, auf der der Skifahrer nach weiteren x [m] zum Halten kommt. Zwischen dem Skianzug und dem Schnee besteht eine Reibungszahl von 

μ = 0,3.

Welche Länge hat die Strecke x?

 

v0 = 2 [m/s]                   h = 2,5 [m]                  μ = 0,3

 

Lösung

Es werden die Dimensionen N, m, kg, s vereinbart.

Kinetische Energie + Energie der Lage = Reibungsenergie

½ m · v02  +   m · g (h + x sin α ) = 

m · g · cos α · μ · x

 

½ 22  +  g · (2,5 + x · 0,174 ) = 

g · 0,985 · 0,3 · x

x = 22,1 m

 

Beispiel für Reibung und Energieerhaltung. Kinetische Energie und Reibungsarbeit

 

Ein Skifahrer will die gegenüberliegenden Talstation mit der Bewegungsenergie erreichen, die er bei der Abfahrt auf Hang 1 erlangt. 

Jedoch wird von dieser Bewegungsenergie ein Teil durch die Reibung zwischen den Skiern und dem Schneebelag verbraucht.

Der Talgrund ist zwar ausgerundet. Dies bleibt aber bei der Berechnung außer Betracht.

 

v0 = 0 m/s        

 

μ = 0,03  

 

Masse des Skifahrers m = 80 kg

 

Aus welcher Höhe muss der Skifahrer starten, damit er die Talstation erreicht?

 

Lösung:

Grundgleichungen

 

Die kinetische Energie hat am Anfang und am Ende den Wert 0.

Die Energie der Lage am Anfang und am Ende ist gleich, jedoch am Ende vermindert um die durch Reibung verloren gegangene Energie.

Bilanzgleichung

z  . G  - (L1 . R1 + L2  . R2 ) =  15  . G 

Berechnung Gewichtskraft des Skifahrers

G = 80 kg . 9,81 m/s2 = 785 N   

Länge L1 und L2  der Hangseiten

sin 30 = z/ L1

L1 = z/ 0,5

L1 = 2 . z

L2 = 15 / sin 35 = 15/ 0,57 = 26 m

Normalkraft und Reibungsarbeit auf der Oberfläche des Hanges 1

N1 = G . cos 30

N1 = 9,81 m/s2 . 80 kg . 0,866 = 680 N

R1 = μ . N1 = 0,03 . 680 N = 20,4 N

Normalkraft und Reibungsarbeit auf der Oberfläche des Hanges 2

N2 = G . cos 35

N2 = 9,81 m/s2 . 80 kg . 0,819 = 643 N

R2 = μ . N2 = 0,03 . 643 N = 19,3 N

Es werden die Dimensionen N, m, kg, s vereinbart.

Bilanzgleichung

z  . G  - L1  . R1  - L2  . R2   =  15  . G 

z . 785    2 . z  . 20,4  – 26 . 19,3  = 15 . 785 

z = 16, 5 m

Der Skifahrer muss aus der Höhe 16,5 m starten, um zur Station auf dem Gegenhang zu gelangen, die in der Höhe 15 m liegt.

 

Federspannarbeit

Die Federspannarbeit ist, wenn dem Weg s=0 die Arbeit W=0 zugeordnet ist,

   W = F . s/ 2

   F = K . s

  W = K . s² / 2

oder allgemeiner, wenn die Feder zwischen xA und xB gedehnt wird,

 

Beispiel    Erhaltung der Energie. Feder. Reibung

 

Ein Körper der Masse m wird durch die Energie einer Feder auf eine abschüssige Bahn geschickt. Durch Reibung verliert er zwar Energie, soll aber mit der Geschwindigkeit v0 = 1 m/s im Punkt B ankommen. Wie groß muss die Zusammendrückung x der Feder, die die Federsteifigkeit K hat, sein?

μ = 0,1

m = 2   [kg]

v0 = 1   [m/s]

K = 100 [N/m]

h = 0,25 [m]

L = 3,5 [m]

     

Lösung

Es werden die Dimensionen N, m, s, kg vereinbart.

Die Komponente der Gewichtskraft der Masse m, die senkrecht auf der Schräge steht, schließt mit der Gewichtskraft den Winkel α ein.

sin α = h/ L = 0,25/ 3,50  => α = 4,096 Grad

cos α = 0,9974

Federenergie + Energie der Lage = Kinetische Energie + Energieverlust durch Reibung

½ K . x2  +  m . g . h = ½ m . v02 + m . g . cos α . μ . L

½ . 100 . x2 + 2,0 . 9,81 . 0,25 =

½ . 2 . 12 + 2,0 . 9,81 . 0,9974 . 0,1 . 3,5

x1/2 = 0,0589 m

x = 0,24 [m] ist die Zusammendrückung x der Feder.

 

Arbeit bei Verschiebung der Kraft längs einer Raumkurve von A nach B.

Der Punkt symbolisiert das innere Produkt der beiden Vektoren. Daraus folgt: Die Reaktionskräfte, die senkrecht zur Bahnkurve wirken, leisten keine Arbeit.

 

Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie

 

Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit zwischen zwei Bahnpunkten.

 

Auf einen Körper der Masse m wirke längs einer beliebigen Wegstrecke zwischen den Punkten A und B eine Kraft F ein, deren Betrag und Richtung sich beliebig verändern kann. Diese Kraft erzeugt eine Beschleunigung a des Körpers, für deren momentanen Wert gilt:

 

Das ist die bei der Beschleunigung aufgewendeten Arbeit W. Sie ist unabhängig vom zeitlichen Verlauf der Beschleunigung.

Für vA = 0 und vB = v  ist

Physiker verwenden das Symbol T.

  T = (m/ 2) . v2

 

Beispiel In welcher Höhe h1 muss ein Wagen auf einer Achterbahn starten, um in einer Höhe h2<h1 eine Geschwindigkeit v zu haben. Weitere Bedingung: v muss so groß sein, dass der Wagen in einer Schleife mit Radius r eine Zentrifugalbeschleunigung > g hat.

(h1 - h2) . m . g = (m/ 2) . v2;   az = v2/ r > g

 

Beispiel  Berechne die Energie, die aufgewendet werden muss, um 1000 kg von 80 km/h auf 120 km/h zu beschleunigen.

Umrechnung auf SI-Einheiten

Geschwindigkeit v  Meter pro Sekunde     1 m/s = 3,6 km/h

v1 = 80 km/h = 80 . 1000 m/ (3600 s) = 22,2 m/s

v2 = 120 km/h = 120 . 1000 m/ (3600 s) = 33,3 m/s

m = 1000 kg

Gesucht: Aussage über v und m

Kinetische Energie bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

W = (m/ 2) . v2

W in Punkten 1 und 2:

W1 = (m/2) . v1² = 1000/ 2 . 22,2² = 246.420 N m

W2 = (m/2) . v2² = 1000/ 2 . 33,3² = 554.445 N m

Gesucht: W2W1

dW = W2W1 = 308 025 N m

1 Ws = 1 J = 1 Nm = 1 kg m²/ s²

dW = 308 kWs = 308 kW h /3600 = 0,086 kWh

 

Wenn der Preis für die Energie 20 c/ kWh beträgt und der Wirkungsgrad η der Maschine, die die Energie in die Arbeit umsetzt 35 % ist, so kostet der Beschleunigungsvorgang

Wirkungsgrad η = abgegebene Leistung/ zugeführter Leistung

Benötigte Primärenergie = Arbeit/ η

Preis = (0,086 kWh / 35 %) . 20 c/ kWh = 4,98 c

 

Gesetz der Erhaltung der Energie (Energiesatz)

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann nur von einer Form in eine andere übergehen.

 

Eine typische Aufgabenart ist, die Energie der Lage (potentielle Energie) mit kinetischer Energie zu kombinieren.

 

Wenn die eingeprägten Kräfte ein Potential besitzen, so bleibt bei der Bewegung die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant.

 

Arbeit       W = F . s   (F und s haben gleiche Richtung)

Hubarbeit     W = G . h = m . g . h

 

Für die potentielle Energie oder Energie der Lage wird  von Physikern auch das Symbol V verwendet (früher auch U).

 

Kinetische Energie bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

W = T = (m/2).v2

 

Die Energie bleibt bei konservativen Systemen erhalten.

 

                     E = T + V

         E = (m/2) . v² + m . g . h

 

Man nennt sie eine Erhaltungsgröße. h ist die Höhendifferenz. Es wäre daher richtiger, die Gleichung als eine Differenzengleichung für die Werte zwischen zwei Zuständen 1 und 2 zu schreiben (siehe unten).

 

Die Gleichung muss bei Körpern, die rotieren, um die Rotationsenergie erweitert werden.

         E = (m/2) . v² + m . g . h + (J/2).w2

 

Die Aufgabenstellung ist häufig so, dass die Energie zwischen zwei Punkten verglichen werden muss.  [i]

E1 = E2

(m/2).v² + m .g.h + (J/2).w2  (1) =

(m/2).v² + m .g.h + (J/2).w2  (2)

 

In der folgenden Gleichung wird das Potential durch die Arbeit ersetzt.

(m/2). v² + F . x  + (J/2).w2  (1) = (m/2).v² + F . x + (J/2).w2  (2)

 

Lösungsschema:

1.           Festlegung eines räumlichen Bezugssystems (Koordinatensystems)

2.           Festlegung einer Zeitachse mit Nullpunkt

3.           Beide Systeme sollten (in den meisten Klausuraufgaben) für alle Körper der Aufgabe gelten.

4.           Festlegung von Berechnungszeitpunkten

5.           Aufschreiben von Anfangswerten für h, v, … in Tabellenform. Jede Spalte entspricht einem Berechnungs(zeit)punkt.

6.            

Berechnungspunkt

1

2

3

Zeit t

t(1)

t(2)

t(3)

Schwerpunkt-v

t(1)

v(2)

v(3)

Winkel-v

w(1)

w(2)

w(3)

Weg x oder Höhe h, z

x(1)

x(2)

x(2)

 

 

 

 

7.           Gleichungen für geometrische Restriktionen aufschreiben

8.           Ggf. dynamische Beziehungen formulieren

9.           Ggf. Newtonsche Gleichungen aufschreiben

10.       Gleichung für die Erhaltung der Energie für jeweils 2 Zeitpunkte aufschreiben. Vorzeichen bei h beachten. h = z2z1 für die  verschiedenen Massen und Zeitpunkte muss aufgeschrieben werden.

11.       Geometrische Restriktionen, dynamische Beziehungen und Newtonsche Gleichungen in die Erhaltungsgleichung(en) einsetzen oder/und in die Gleichungen die bekannten Werte einsetzen.

12.       Gleichung(n) nach der (den) gesuchten Unbekannten auflösen

 

Beispiele für die Anwendung des Arbeitssatzes: siehe [ii]  [iii]  [iv]

 

Beispiel BERNOULLl-Gleichung

 

Multipliziert man die BERNOULLl-Gleichung

ρ .  +  z . ρ . g  + p = konstant  

mit dem Volumen V, so geht sie in die Gleichung zur Erhaltung der Energie über. Für die Geschwindigkeit v wird von Physikern das Symbol w verwendet.

Multiplikation mit 2 ergibt eine Gleichung ohne Brüche, was für die numerische Berechnung vorteilhaft ist.

ρ . v2  +  z . 2 .  ρ . g   +  2 . p  =  konstant  

Multipliziert man diese Gleichung mit dem Volumen V/ 2  , so erhält man die Gleichung über die Summe der verschiedenen Energiearten, die ja in einem geschlossenen System konstant ist.

 .  ρ  .  v2 + .  z  .  2  .  ρ  .  g  +  .  2  .  p = konstant  

V .  ρ = m

  .  v2 +  z  .  m  .  g  + p . V = konstant  

T  +  G . z  +  W  =  konstant

Kinetische Energie + potentielle Energie + Volumenänderungsarbeit = konstant .

Teilt man die Gleichung durch ρ . g, so tritt ein Term z auf, der für die Anschauung vorteilhaft sein kann.

 +  z . ρ . g  + p = konstant  

 +  z  +    =  konstant  

Die Berechnung erfolgt in der Regel so, dass der Term auf der linken Seite der Gleichung für zwei verschiedene Punkte aufgeschrieben wird und diese Terme gleichgesetzt werden. Wichtig ist, dass folgende 3 Annahmen getroffen werden:

1)      Es werden einheitliche Dimensionen verwendet. Zum Beispiel: Es werden nur die Einheiten des SI-Systems verwendet.

2)      Der Druck wird auf den Wert 0 bezogen; oder: Alle Werte des Drucks werden auf den Wert des Umgebungsdrucks von 105 N/m2 bezogen.

3)      Alle Höhenwerte z werden auf eine horizontale Linie durch den Punkt … bezogen.

 

 

Nehmen Sie an, dass das Reservoir ein unendlich großes Volumen hat und dass der Rohrquerschnitt zwischen (2) und (6) konstant ist.

a + b + c = 100 m

A = 1 m2  Querschnitt der Rohrleitung

a) Berechnen Sie die Austrittsgeschwindigkeit bei (6).

b) Berechnen Sie den Fluss Q.

c) Der Druck bei 4 soll, um Kavitation zu vermeiden, nicht unter 0,2 bar sinken. Nach dem Gesetz von Bernoulli ist der statische Druck einer Flüssigkeit umso geringer, je höher die Geschwindigkeit ist. Fällt der statische Druck unter den Verdampfungsdruck der Flüssigkeit, bilden sich Dampfblasen. Diese werden anschließend meist mit der strömenden Flüssigkeit in Gebiete höheren Druckes mitgerissen. Mit dem erneuten Ansteigen des statischen Drucks über den Dampfdruck kondensiert der Dampf in den Hohlräumen schlagartig und die Dampfblasen kollabieren. Dabei treten extreme Druck- und Temperaturspitzen auf.

p(1)= 1 bar

p(4) = 0,2 bar

Berechnen Sie den Wert von a so, dass bei (4) keine Kavitation auftritt.

d) Vergrößern Sie den Querschnitt A in (4), so dass

a=80 m   ist und weiterhin

p(4) = 0,2 bar.

 

Lösung:

a) Die Werte an den Stellen 1 und 6 werden in Beziehung gesetzt.

 +  z  +    An der Stelle (1) =  

 +  z  +    An der Stelle (6) =  

Übersichtlicher ist es, wenn man dies in einer Tabelle hinschreibt.

 

Summe an Stelle 6       =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

 +

0 +

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Austritts-Geschwindigkeit Null

0 +

a + b + c +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist am Ausfluss Null.

Der Druck in der Flüssigkeit ist an beiden Stellen gleich, und zwar gleich dem Umgebungsdruck. Diese beiden Terme heben sich deshalb auf.

 

Der Druck p ist wie die Höhe auf einen Nullwert zu beziehen. Dies kann der Wert des Umgebungsdrucks sein oder der Wert 0. Hier brauchen wir uns wegen der Gleichheit in beiden Punkten nicht festzulegen.

a + b + c = 100 m

Werden einheitlich die Dimensionen m, s, kg vereinbart, lautet die Gleichung (übersichtlicher für die Zahlenberechnung):

v(6) = 44,3 m/s

Es ist unter Ingenieuren allgemein üblich, vor Aufstellung der Gleichungen die im Folgenden verwendeten Dimensionen festzulegen und diese in den Gleichungen nicht mehr hinzuschreiben. Nur an den Eingangsgrößen und am Ergebnis wird die Dimension hingeschrieben.

 

Wegen der Annahme eines konstanten Rohrquerschnitts in der Aufgabenstellung folgt aus dem Kontinuitätsprinzip

Q(1) = Q(2)

A(1) . v(1) = A(2) . v(2)    (Durchflussgesetz, Kontinuitätsgleichung)

v(1) = v(2) = … = v(6) = v = 44,3 m/s

 

b) Der Fluss ist  Q = A . v

und kann aus den bekannten Werten berechnet werden.

Q = 1 m2 . 44,3 m/s = 44,3 m3/s

 

c) Der Druck bei (4) soll, um Kavitation zu vermeiden, nicht unter 0,2 bar sinken.

p(1)= 1 bar

p(4) = 0,2 bar

Die BERNOULLl-Gleichung wird nun zwischen den Punkten (1) und (4) aufgeschrieben, bezogen auf die Höhe bei (6)

                                                

Summe an Stelle 4       =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

 +

 +

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Austritts-Geschwindigkeit Null

(b + c) +

a + b + c +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist am Ausfluss Null.

Der absolute Druck in der Flüssigkeit ist an der Stelle 1 gleich 1 bar und an der

Stelle 4 gleich 0,2 bar

 

a + b + c = 100 

b + c = 100 - a

Summe an Stelle 4       =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

0 +

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Eintritts-Geschwindigkeit Null.

Die v hatten wir für die Stelle 6 berechnet. Da der Querschnitt an der Stelle 4 der gleiche ist, ist auf Grund der Kontinuitätsgleichung die Geschwindigkeit hier die Gleiche.

 +

100  +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist am Ausfluss Null. Berechnet werden soll a, deshalb ersetzen wir  b + c = 100 - a

Der absolute Druck in der Flüssigkeit ist an der Stelle 1 gleich 1 bar und an der

Stelle 4 gleich 0,2 bar

 

Aus dieser Gleichung kann a errechnet werden, damit bei (4) keine Kavitation auftritt.

  +   =  100  +   

100,0 + 100 – a + 2,04 = 10,2  + 100,0

a = 91,9 m

 

d) Querschnitt A in (4) so wählen, dass p(4)=0,2 bar und a=80 m.

a + b + c = 100 

b + c = 100 - a

b + c = 100 – 80 = 20 m

 

Q(4) = Q(6)   Kontinuitätsgleichung

A(4) . v(4) = A(6) . v(6)

A(4) . v(4) = 1 m2 . 44,3 m/s

                                                

Summe an Stelle 4       =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

 +

 +

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Austritts-Geschwindigkeit Null

(b + c) +

a + b + c +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist am Ausfluss Null.

Der absolute Druck in der Flüssigkeit ist an der Stelle 1 gleich 1 bar und an der

Stelle 4 gleich 0,2 bar

 

Summe an Stelle 4       =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

 

0 +

Wir können die Tabelle zuvor zu Grunde legen, ersetzen aber

20 +

100 +

In der Aufgabenstellung ist der Wert a=80 vorgegeben.

Der absolute Druck in der Flüssigkeit ist an der Stelle 1 gleich 1 bar und an der

Stelle 4 gleich 0,2 bar

 

 20 +   =  100  +   

A(4)= 1,07 m2

Damit bei (4) keine Kavitation auftritt und die Rohrleitung 20 m über dem Niveau am Auslass bei (6) angeordnet werden kann, muss ihr Querschnitt  > 1,07 m2 sein

 

Hinweis: Zweckmäßiger wäre es, v(4) nicht durch

zu substituieren. Wenn man v(4) errechnet hat, kann man aus der vorstehenden Gleichung A(4) errechnen.

 

Anwendung der vereinfachten Bernoulli-Gleichung in der Strömungslehre

Um den Volumenstrom Q zu bestimmen, verwendet man gern das Venturirohr. Als industrielle Normteile des Maschinenbaues sind Venturi-Düsen als „Einschweißdruckgeber“ nach DIN 19215 und ISO 5167 definiert.

 

 

Der Unterschied des statischen Drucks zwischen den Punkten 1 und 2 wird aus dem Wert Δh der Flüssigkeitssäulen ermittelt. In Verbindung mit den Werten des Durchmessers d der Rohrleitung an den Stellen 1 und 2 kann die Strömungsgeschwindigkeit mit Hilfe der Bernoulligleichung und daraus das Volumen pro Sekunde, der Volumenstrom, bestimmt werden.

 

Art der Flüssigkeit: Wasser

d1= 0,5 m

d2 = 0,2 m

Δh = 60 mm

Bestimmen Sie bitte v1 und Q.

Lösung

Unter einem Volumenstrom Q versteht man das Volumen eines Mediums, das sich innerhalb einer Zeitspanne durch einen Querschnitt bewegt. Um den Volumenstrom Q zu bestimmen, verwendet man gern das Venturirohr.

 

Der Unterschied des statischen Drucks zwischen den Punkten 1 und 2 wird aus dem Wert Δh der Flüssigkeitssäulen ermittelt. In Verbindung mit den Werten des Durchmessers der Rohrleitung an den Stellen 1 und 2 kann die Strömungsgeschwindigkeit mit Hilfe der Bernoulligleichung und daraus der Volumenstrom pro Sekunde bestimmt werden.

 

Art der Flüssigkeit: Wasser

d1= 0,5 m

d2 = 0,2 m

Δh = 60 mm

Bernoulligleichung

Der Term wird für die zwei Punkte 1 und 2 aufgeschrieben und diese Terme werden gleichgesetzt. Da z in den Punkten 1 und 2 gleich sind, heben sich diese Werte auf den beiden Seiten auf. Außerdem werden die Symbole für die Geschwindigkeit und den Druck zusammengefasst.

 

                 (1) vereinfachte Bernoulligleichung

 

Zunächst wird mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung eine Beziehung zwischen v1 und v2 hergestellt.

Es werden die Einheiten m, s, Pa vereinbart

 

Q1 = Q2

Q1 = A1 . v1 = A2 . v2

Der Unterschied der statischen Druckwerte in den Röhrchen ist

Δp = ρ . g . h = 1000 . 9,81 . 0,06 = 588 N/m2

 

Einsetzen in die vereinfachte Bernoulligleichung (1)

Der Volumenstrom ist



[i] http://www.uni-siegen.de/fb11/nm/lehre/vorlesungen/tm3/loesungen/loesung_tm3_2008-02-09.pdf

Aufgabe 1, Anwendung des Arbeitssatzes

 

[ii] http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/downloads/files/Mechanikaufgaben.pdf

Seite 221 Ermittlung der Bewegungsgleichung zweier gekoppelter Stäbe aus dem Arbeitssatz

S.223-238 weitere Beispiel zur Anwendung des Arbeitssatzes

 

[iii] http://www.uni-siegen.de/fb11/nm/lehre/vorlesungen/tm3/loesungen/loesung_2009_maerz.pdf

Aufgabe 1, Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines schwingungsfähigen Systems mit dem Arbeitssatz

 

[iv] http://www.uni-siegen.de/fb11/nm/lehre/vorlesungen/tm3/loesungen/klausurloesung_2007_03_31.pdf

Aufgabe 2, Anwendung des Arbeitssatzes