Klausur-Beispiele

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Aufgaben zur / zum                                                                                                        

Statik

Festigkeitslehre

Kinematik

Energieerhaltung

Aufstellung von Schwingungsgleichungen

 

 

 

Aufgaben zur Kinematik

Letztes Update am 08.05.16

 

·    Einheiten in der Kinematik

·    Translatorische Bewegung in eindimensionaler Darstellung

·    Kinematik-Beispiel Nr. 1: Bremsvorgang, 1 Zeitintervall

·    Kinematik-Beispiel Nr. 2: Bremsvorgang, 2 Zeitintervalle

·    Beispiel Nr. 3: Eine Schienenbahn fährt ...

·    Beispiel Nr. 4: Zwei Kfz fahren

Translatorische Bewegung in zweidimensionaler Darstellung

·    Kinematik-Beispiel Nr. 5:  Zusammengesetzte Bewegung und schräger Wurf         

·    Kinematik-Beispiel Nr. 6: Berechnung und Darstellung einer Bahnkurve

·    Kinematik-Beispiel Nr. 7: Berechnung einer Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung

·    Beispiel Nr. 8: Rotation. Zentripetalbeschleunigung. Größen der gleichförmigen Drehbewegung am Kreis in Vektordarstellung 

·    Beispiel Nr. 9:  Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

·    Beispiel Nr. 10: Rotor eines Hubschraubers

·    Beispiel 11: Anhalten eines Rotors

·    Beispiel 12: Zentripetalbeschleunigung

 

 

 

Definition

Die Kinematik ist die Lehre der Bewegung von Punkten im Raum. Es werden die Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung betrachtet. Die Dynamik hingegen berücksichtigt auch die Kräfte, die bei der Bewegung wirken.

 

Einheiten in der Kinematik

Zeit, Sekunde s; 1 s; Minute min              

1 min = 60 s; Stunde 1 h = 60 min = 3600 s

Frequenz, Hertz f; 1 [Hz] = 1/s,

Kreisfrequenz ω = 2 p f = 2 p/ T; [ω] = 1/s

Winkelgeschwindigkeit [dφ/dt] rad/s = 1/s

Länge, l; l; dim l = m; cm; mm

Geschwindigkeit v; Meter pro Sekunde 1 m/s; Kilometer/Stunde km/h; Meter pro Stunde m/h; 1 m/h = 0,001 km/h

Beschleunigung [a] = 1 m/s²

 

Translatorische Bewegung in eindimensionaler Darstellung

Eine Translation heißt gleichförmig, wenn die Geschwindigkeit konstant ist.

v = ds/ dt = konstant

Eine Translation ist gleichmäßig beschleunigt, wenn sie eine konstante Beschleunigung besitzt.

a = dv/ dt = konstant

 

Für die allgemeine Bewegung gilt z.B.

 

a = dv/ dt

v = a dt + v1

v = ds/ dt;  ds= v . dt;  s = v dt + s1

s = (a dt + v1) dt + s1

 

v1 und s1 sind die Integrationskonstanten, die aus den Anfangsbedingungen der jeweiligen Aufgabe bestimmt werden können. Für die Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung wird weiter unten ein Beispiel gegeben.

 

Ist die Beschleunigung a konstant gilt:

 

a = konstant

v = a . t + v1   

s = v dt + s1= a . t + v1 dt + s1 =

s = a . t2/ 2 + v1 . t + s1

 

Bei Aufgaben der Kinematik werden regelmäßig Funktionen verwendet, die in bestimmten

(Zeit-)Punkten bestimmte Werte annehmen sollen. Man kann dies so darstellen, dass man hinter der Funktion einen senkrechten Strich platziert, an den man unten den Wert der Zeit t oder einen Index für den Zeitpunkt anbringt. Wir wählen hier folgende Schreibweise:

 

Δt(n,n+1) ist die Länge des Zeitintervalls tn+1 - tn . t ist das Symbol für die Variable Zeit.

 

a(n) ist der Wert der Beschleunigung im Punkt n. a ist das Symbol für die Variable Beschleunigung.

v(n) ist der Wert der Geschwindigkeit im Punkt n. v ist das Symbol für die Variable Geschwindigkeit.

s(n) ist der Wert der Strecke im Punkt n. s, x oder y ist das Symbol für die Variable Strecke, wobei s(0) = 0 gelte.

Der Definitionsbereich muss zuvor durch ein Zeitintervall (n, n+1) angegeben worden sein.

 

Ist die Beschleunigung a in einem Zeitintervall (n, n+1) konstant, so wollen wir das vereinfachend so schreiben

Zeitintervall  Δt(n, n+1)

 

a(n) = a(n+1) := constant

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)

s(n+1) = ∫v(t) dt = ∫ a(n). Δt(n,n+1) + v(n) dt

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

 

Wir werden ausschließlich diese Gleichungen als Berechnungsgleichungen verwenden.  Wird nach der Zeit t gefragt, wird die Gleichung für v bzw. für s zunächst hingeschrieben und dann erst nach t aufgelöst.

 

Für den Fall der gleichförmigen Translation, a=0 und v=constant, gilt

 

s(n+1) = v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

 

Kinematik-Beispiel Nr. 1    gleichmäßiger Bremsvorgang, 1 Zeitintervall

Ein Aufzug kommt aus einem oberen Stockwerk und wird bis zum Halt im EG gleichmäßig verzögert.

Die Geschwindigkeit vor dem Bremsvorgang beträgt 4 m/s.

Die Beschleunigung während des Bremsvorganges (d.h. die Verzögerung) beträgt -2 m/s2

Wie lange dauert der Bremsvorgang?

Wie viel Höhe verliert die Kabine in dieser Zeit?

 

Werte in den Punkten 0 und 1 des Intervalls

 

a(0) =    -2        a(1) = -2 m/s2

v(0) =    4         v(1) = 0  m/s

s(0) =    0         s(1) = …  m

t(0) =    0         t(1) = … s

Lösung

Es werden die Dimensionen m, s vereinbart.

Der Weg beginnt bei 0, das heißt am Anfang des Bremsvorgangs.

Die Geschwindigkeit an dem Punkt 0 ist 4.

Die Verzögerung am Punkt 0 ist -2 und hat bis zum Punkt 1 den konstanten Wert -2, da eine gleichmäßige Verzögerung vorausgesetzt wird.

Die fehlenden Werte sollen errechnet werden. Die positive Wegrichtung zeige vom Punkt 0, in dem die Verzögerung beginnt, nach unten.

 

a(0) =    -2        a(1) = -2       m/s2

v(0) =    4         v(1) = 0        m/s

s(0) =    0         s(1) = 4        m

t(0)  =   0         t(1) = 2       s

In die Tabelle sind die errechneten Werte bereits eingetragen worden.

 

Wie lange dauert der Bremsvorgang? Die allgemeine Berechnungsformel für die Werte von v, t und a in den Punkten n und n+1 ist

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)

n = 0

v(1) = a(0) . Δt(0,1) + v(0)

0    = -2      .  Δt(0,1) + 4

Δt(0,1) = 2 s

Wie viel Höhe verliert die Kabine in dieser Zeit? Die allgemeine Berechnungsformel für die Werte von s (Weg), t (Zeit) und a (Beschleunigung) in den Punkten n und n+1 ist

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

n=0

s(1) = a(0). Δt(0,1)2/2 + v(0). Δt(0,1) + s(0)

s(1) = -2 . 22/2 + 4 . 2 + 0

s(1) = 4 m

Ergebnis der Berechnung:

Der Bremsvorgang dauert Δt(0,1) = 2 s.

Die Kabine verliert s(1) – s(0)= 4 – 0 = 4 m an Höhe.

 

Kinematik-Beispiel Nr. 2  Bremsvorgang, 2 Zeitintervalle

Vorbemerkungen

a ist das Symbol für die physikalische Größe „Beschleunigung“.

n ist das Symbol für eine ganze Zahl zur Indizierung von physikalischen Zuständen.

a(n) ist das Symbol der Beschleunigung im Punkt n.

v ist das Symbol für die Variable Geschwindigkeit.

v(n) ist das Symbol der Geschwindigkeit im Punkt n.

s ist das Symbol für den Weg, wobei als Anfangsbedingung s(0) = 0 gelte.

s(n) ist der Weg im Punkt n, bezogen auf den Weg im Punkt 0.   

Der Definitionsbereich wird durch ein Intervall (n, n+1) angegeben.

 

Ist die Beschleunigung a in einem Zeitintervall (n, n+1) konstant (gleichmäßige Beschleunigung), so wollen wir das vereinfachend so schreiben

a(n) = a(n+1) = a = constant

Die kinematischen Gleichungen sind dann

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

Für den Fall der gleichförmigen Translation, gekennzeichnet durch a = 0 und v = konstant, geht letztere Gleichung über in

s(n+1) = v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

 

Wir werden diese Gleichungen als Berechnungsgleichungen verwenden. 

Das ist der übliche Weg, wenn Ingenieure die Aufgabe lösen. Es wird also nicht symbolisch nach t aufgelöst.

 

Aufgabenstellung   Bremsvorgang, 2 Zeitintervalle

 

Ein Fahrzeug habe zur Zeit 0 bzw. im Zeitpunkt 0 die Geschwindigkeit 10 m/s. Die Wegstrecke im Punkt 0 sei 0 m. Das Fahrzeug wird mit der Verzögerung -3 m/s2 auf die Geschwindigkeit 7 m/s gebremst. Welches ist der Zeitwert im Zeitpunkt 1?  Welchen Weg hat das Fahrzeug im Zeitpunkt 1 zurückgelegt?

Ausgehend vom Zeitpunkt 1 wird das Fahrzeug auf die Geschwindigkeit 0 m/s gebremst bzw. kommt nach 16 m Wegstrecke, gerechnet vom Wert im Zeitpunkt 0, im Zeitpunkt 2 zum Stehen.

Wie lange brauchte das Fahrzeug zwischen den Zeitpunkten 0, 1 und 2 und welche Verzögerung hatte es im Intervall (1,2)?

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

a(0) =    -3 =      a(1) = -3 m/s2

v(0) =    10        v(1) = 7  m/s

s(0) =    0         s(1) = … m

t(0) =    0         t(1) = …  s

 

Lösung

Es wird vereinbart die Dimensionen m und s zu verwenden. Es werden zwei Gleichungen aufgestellt, die erfreulicherweise direkt gelöst werden können.

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

v(1) = a(0) . Δt(0,1) + v(0)

7    = -3   . Δt(0,1) + 10

Δt(0,1) = (7 – 10)/ (-3) = 1 s

 

Da  s, der Weg, nur in der 3. Gleichung vorkommt, muss diese Gleichung verwendet werden.

s(1) = a(0) . Δt(0,1)2/ 2 + v(0) . Δt(0,1) + s(0)

s(1) = -3   . 12/ 2      + 10 . 1        + 0

s(1) = 8,5 m

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (1,2)

a(1) = -2,88 =    a(2)                 m/s2

v(1) = 7                      v(2) = 0           m/s

s(1) = 8,5                   s(2) = 16         m

t(1)  = 1                      Δt(1,2)  =   2,14 s     

t(2)  = t(1) +  Δt(1,2)  = 1 + 2,14 = 3,14 s

In diesem Fall müssen 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten aufgestellt werden, die nicht direkt gelöst werden können.

Aufstellung der 1. Gleichung.

Da die Randwerte v(1), v(2) bekannt sind, wird die 2. Gleichung verwendet.

v(2) = a(1) . Δt(1,2) + v(1)

0    = a(1) . Δt(1,2) + 7

Aufstellung der 2. Gleichung.

Da die Randwerte s(1), v(2) bekannt sind, wird die 3. Gleichung verwendet.

s(2) = a(1) . Δt(1,2)2/ 2 + v(1) . Δt(1,2) + s(1)

16   = a(1) . Δt(1,2)2/ 2 + 7    . Δt(1,2) + 8,5

 

Lösung des Gleichungssystems. Unbekannte sind Δt(1,2)und a(1)

a(1) = -7/ Δt(1,2)

16   = (-7/ Δt(1,2)) . Δt(1,2)2/ 2 + 7 . Δt(1,2) + 8,5

Einsetzen der 1. in die zweite Gleichung ergibt eine Bestimmungsgleichung für Δt(1,2).

- 3,5 . Δt(1,2) + 7 . Δt(1,2)  = 16 – 8,5

3,5 . Δt(1,2)  = 7,5

Δt(1,2) = 2,14 s

Nun kann auch a(1) berechnet werden.

a(1) = -7/ Δt(1,2)  

a(1) = -7/ 2,43 = -2,88 m/s2   

 

Beispiel Nr. 3    Eine Schienenbahn fährt von Station A nach Station B. Zunächst beschleunigt sie, fahrt dann mit gleichförmiger Geschwindigkeit und verzögert dann bis zum Stillstand in B. Die Randbedingungen für die drei Intervalle können den Tabellen entnommen werden.

Es werden die Einheiten m, s vereinbart.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

a(0) = 0,25     a(1) = 0,25          m/s2

v(0) = 0        v(1) = 30            m/s

s(0) = 0        s(1) = …           m

t(0) = 0        t(1) = …             s

In diesem Abschnitt nimmt die Geschwindigkeit von 0 auf 30 zu.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (1,2)

a(1) =          a(2) = 0             m/s2

v(1) = 30       v(2) = 30            m/s

s(1) =         s(2) = …            m

t(1) =          t(2) = …             s

In diesem Abschnitt ist die Geschwindigkeit konstant.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (2,3)

a(2) =          a(3) = -0,7          m/s2

v(2) = 30       v(3) = 0             m/s

s(2) =          s(3) = 4000         m

t(2) =          t(3) = …             s

In diesem Abschnitt nimmt die Geschwindigkeit von 30 auf 0 ab.
Lösung

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

a(0) = 0,25     a(1) = 0,25          m/s2

v(0) = 0        v(1) = 30            m/s

s(0) = 0        s(1) = …           m

t(0) = 0        t(1) = …             s

 

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)

n = 0

v(1) = a(0) . Δt(0,1) + v(0)

30   = 0,25 . Δt(0,1) + 0

Δt(0,1) = 120 s

 

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n) 

n=0

s(1) = a(0). Δt(0,1)2/2 + v(0). Δt(0,1) + s(0)

s(1) = 0,25 . 1202/2 + 0 + 0

s(1) = 1800 m

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (1,2)

a(1) =          a(2) = 0             m/s2

v(1) =          v(2) = 30            m/s

s(1) = 1800     s(2) = …            m

t(1) = 120      t(2) = …             s

t (1) = t(0) + Δt(0,1)

In diesem Abschnitt ist die Geschwindigkeit konstant.

s(n+1) = v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

n = 1

s(n+1) = v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

s(2) = v(1). Δt(1,2) + s(1)

s(2) = v(1). Δt(1,2) + 1800

Es gibt nur eine Bestimmungsgleichung, aber zwei Unbekannte: s(2) und Δt(1,2)

Es wird zunächst beim Intervall (2,3) weiter gerechnet.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (2,3)

a(2) =               a(3) = -0,7          m/s2

v(2) = 30            v(3) = 0             m/s

s(2) =               s(3) = …            m

t(2) = 120+ Δt(1,2)  t(3) = …             s

t (2) = t(0) + Δt(0,1) + Δt(1,2)

 

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)

n = 2

v(3) = a(2) . Δt(2,3) + v(2)

0    = -0,7  .  Δt(2,3) + 30

Δt(2,3) = 42,86 s

 

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

n=2

s(3) = a(2). Δt(2,3)2/2 + v(2). Δt(2,3) + s(2)

4000 = -0,7 . 42,862/2  +  30 . 42,86   + s(2)

s(2) = 3357 m

 

Intervall (1,2)

s(2) = v(1). Δt(1,2) + s(1)

3357 = 30 . Δt(1,2) + 1800

Δt(1,2) = 51,90 s

Mit den errechneten Werten können die Tabellen oben ergänzt werden.

t(3) = t(0) + Δt(0,1) + Δt(1,2)+ Δt(2,3)

t(3) = 0 + 120 + 51,90 + 42,86  = 214,76 s

 

Es gibt eine Klasse von Aufgaben, bei denen eine solche oder ähnliche  kinematische Berechnung jeweils für 2 Körper durchzuführen ist, die durch eine Bedingung in einem Endzeitpunkt verknüpft sind. Dann ist es erforderlich oder zumindest angeraten, für beide Körper das gleiche Z-Weg-System zugrunde zu legen sowie deutlich zu machen, welche Größe s, v, a zu welchem Körper gehört ( z.B. a und a* oder a(1) (1,2) und a(2) (1,2), usw.)

 

Beispiel Nr. 4

Zwei Kfz, F1 und F2, fahren hintereinander. Das hintere Fahrzeug F1 hat zu Beginn mit 20 m/s eine höhere Geschwindigkeit als das Fahrzeug F2, dessen Geschwindigkeit gleichförmig ist und konstant 15 m/s beträgt. In einem Abstand von 22 m hinter F2 beginnt F1 gleichmäßig zu verzögern und fährt dann in einem Abstand von 2 m hinter F2 her.

Berechnen Sie die Zeitdauer und die Länge des Weges dieses Manövers. Die entsprechenden Werte können der unten stehenden Tabelle für F1 entnommen werden. Für die Werte von F2 wird keine Tabelle angelegt, da sie bereits in der Tabelle für F1 berücksichtigt wurden.

 

Verwendete Symbole

0, 1 Bezeichnungen der Zeitpunkte

Zeitintervall  Δt(0,1)= t(1) – t(0)

a = Symbol für die Verzögerung bzw. Beschleunigung des F1 zwischen den Zeitpunkten 0 und 1

v(1) = gleichförmige Geschwindigkeit des Fahrzeugs F2 im gesamten Zeitbereich sowie

Geschwindigkeit des F1 im Zeitpunkt 1

v(0) = Geschwindigkeit des F1 im Zeitpunkt 0

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte des F1 im Intervall (0,1)

a(0) =              a(1) = a                  m/s2

v(0) = 20      v(1) = 15            m/s

s(0) = 0       s(1) = 20 + 15 . Δt(0,1)  m     (*)

t(0) = 0            t(1) = Δt(0,1)            s

(*) Das heißt, der Weg s(1) im Zeitpunkt 1 ist von der Zeit t(1) abhängig, die eine unbekannte Variable ist.

Lösung:

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n) (Weg)

n=0

s(1) = a . Δt(0,1)2/2 + v(0). Δt(0,1) + s(0)

s(1) = a . Δt(0,1)2/2 + 20. Δt(0,1)   + 0

Gleichsetzen mit (*)

20 + 15 . Δt(0,1)  =  a . Δt(0,1)2/2 + 20. Δt(0,1)

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)                          (Geschwindigkeit)

n=0

v(1) = a(0) . Δt(0,1) + v(0)

15    = a(0)  .  Δt(0,1) + 20

a(0) = -5/ Δt(0,1)  Verzögerung

wird in obige Gleichung für den Weg eingesetzt und ergibt

Δt(0,1) = 8 s

Aus der Gleichung

a(0) = -5/ Δt(0,1) 

erhält man die Verzögerung

a = -0,625 m/s2

Die Formel für den durch F1 zurückgelegten Weg findet man in der obigen Tabelle

s(1) = 20 + 15 . Δt(0,1) = 20 + 15 . 8 = 140 m

 

Translatorische Bewegung in zwei Dimensionen

Kinematik-Beispiel Nr. 5  Zusammengesetzte Bewegung und schräger Wurf

Da Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Vektoren sind, können sie nach den Gesetzen der vektoriellen Addition zusammengesetzt werden (geometrisch oder rechnerisch). Um zum Beispiel die Bahnkurve in Koordinaten x, y zu erhalten, stellt man zunächst die Gleichungen für

(x, t, ..) und (y, t, ...) auf und eliminiert dann den Parameter t. Z.B. waagerechter Wurf:

 

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)      (a3)

Anpassung der Symbole der Gleichung (a3) an die x-Richtung

s = x;  a = 0;     x(1) = 0;     n = 1;    v := vx

 

x(1+1) = 0. Δt(1,1+1)2/2 + vx(1). Δt(1,1+1) + x(1)              (a3)

x(2)   = 0            + vx(1) . Δt(1,2) + 0

x(2)   = vx(1). Δt(1,2)

Δt(1,2) = x(2)/ vx(1)

 

Anpassung der Symbole der Gleichung (a3) an die y-Richtung erfolgt entsprechend. Erdbeschleunigung g und Richtung y seien gleich orientiert.

y(2) = (g/2). Δt(1,2)2 + vy(1). Δt(1,2) + y(1)

 

Bahngleichung des waagerechten Wurfes 

Δt(1,2) wird in y(2) eingesetzt

y(2) = (g/2).(x(2)/vx(1))2 + x(2).(vy(1)/vx(1)) + y(1)

 

y(2) = (g/2).(x(2)/vx(1))2 + vy(1).x(2)/vx(1) + y(1)

Da der Punkt 2 variabel ist, wird gesetzt

y := y(2)

x := x(2)

y =(9,81/2).((x/vx(1))2)+ vy(1).x/vx(1) + y(1)

 

Umbenennung der Symbole für Anfangsbedingungen

y1 :=y(1)

vx1:=vx(1)

vy1:=vy(1)

g = 9,81 m/s2

y =(9,81/2).((x/vx1)2)+ vy1.x/vx1 + y1

 

Beispiel

y1=0 m

vx1=5 m/s

vy1=0 m/s

y=(9,81/2) . (x/5)2 m

 

Der Graph wird mit dem Programm Euler mit folgendem Befehl erzeugt (- Zeichen, um Öffnung nach unten zu erhalten, da Prg. +Richtung nach oben annimmt.):

>plot2d("(-9.81/2) . (x/5)2", a=0,b=10); insimg;

Umformung der Bahngleichung bei Vorgabe einer festen Abschussgeschwindigkeit v0 und verschiedener Abschusswinkel a

(vy(1)/ vx(1)= tan a;  a ist der Winkel, unter dem der Abschuss erfolgt. (Da g und y gleichorientiert angenommen wurden, Vorzeichen von a  beachten.)

Üblicherweise kann angenommen werden, dass die Geschwindigkeit des Körpers für verschiedene Winkel a konstant = v0 ist. Dann ist

vx(1)/ V0 = cos a

vx(1)2 = (cos a   V0)2

y(2) = (g/2).x(2)2/(cos a.v0)2 + x(2).tan a  + y(1)

 

Aufgabe: Erzeuge mit dem Programm Euler eine Kurvenschar für verschiedene Winkel.

Beim freien Fall ist vy(1) = vx(1)= 0.

 

Kinematik-Beispiel Nr. 6   Berechnung und Darstellung einer Bahnkurve

Eine Bahnkurve setze sich aus den Komponenten vx und vy zusammen. vx beschreibe eine gleichförmige Bewegung; vy eine intervallweise gleichförmig beschleunigte Bewegung. Die Anfangswerte, Werte der Zeitintervalle und Werte der konstanten Geschwindigkeit und konstanten Beschleunigung können folgender Tabelle entnommen werden (fett); die berechneten Werte sind kursiv dargestellt):

 

Gleichförmige Bewegung in x-Richtung                                        Bewegung in y-Richtung

 

Dim

m/s

s

s

m

m

m/s2

m/s

m

 

 Nr.

vx

Δ t

t

Δ sx

sx

a

vy

sy

 

1

0,7

3

0

2,1

0

1,2

0,5

2

 

2

3

2,1

4,1

8,9

0,7

2

1,4

0,6

3

5

3,5

5,3

18,3

0,7

4

2,8

-0,1

4

9

6,3

4,9

38,7

0,7

3

2,1

-2

5

12

8,4

-1,1

44,1

0,7

1

0,7

-4

6

13

9,1

-5,1

41

0,7

5

3,5

-7

7

18

12,6

-40,1

-72

 

Berechnung der Bewegung in x-Richtung erfolgt mit der Formel

Δ sx(n,n+1) = v(n). Δt(n,n+1)

sx(n+1) = sx(n) + Δ sx(n,n+1)

Die Ergebnisse wurden direkt in die Tabelle eingetragen.

 

Berechnung der Bewegung in y-Richtung erfolgt mit den Formeln

v(n+1) = a(n) . Δt(n,n+1) + v(n)

s(n+1) = a(n) . Δt(n,n+1)2/ 2 + v(n) . Δt(n,n+1) + s(n)

 

Intervall (1,2)

s(2) = a(1) . Δt(1,2)2/ 2 + v(1) . Δt(1,2) + s(1)  

v(2) = a(1) . Δt(1,2)     + v(1)   

 

s(2) = 1,2    . 32/ 2          + 0,5 .  3      + 2  = 8,9 m

v(2) = 1,2    . 3          + 0,5 = 4,1 m/s   

   

Intervall (2,3)

s(3) = a(2) . Δt(2,3)2/ 2 + v(2) . Δt(2,3) + s(2)  

v(3) = a(2) . Δt(2,3)     + v(2)

 

s(3) = 0,6    . 22/ 2      + 4,1  . 2      + 8,9 = 18,3 m

v(3) = 0,6    . 2          + 4,1 = 5,3 m/s

  

Intervall (3,4)

s(4) = a(3) . Δt(3,4)2/ 2 + v(3) . Δt(3,4) + s(3)  

v(4) = a(3) . Δt(3,4)     + v(3)   

s(4) = -0,1   . 42/ 2      + 5,3  . 4      + 18,3 = 38,7 m    

v(4) = -0,1   . 4          + 5,3 = 4,9 m/s  

 

Intervall (4,5)

s(5) = a(4) . Δt(4,5)2/ 2 + v(4) . Δt(4,5) + s(4)  

v(5) = a(4) . Δt(4,5)     + v(4)   

 

s(5) = -2     . 32/ 2      + 4,9  . 3      + 38,7 = 44,1 m    

v(5) = -2     . 3          + 4,9 = -1,1 m/s  

 

Intervall (5,6)

s(6) = a(5) . Δt(5,6)2/ 2 + v(5) . Δt(5,6) + s(5)  

v(6) = a(5) . Δt(5,6)     + v(5)   

 

s(6) = -4    . 12/ 2       -1,1  . 1      + 44,1 = 41 m

v(6) = -4    . 1           -1,1 = -5,1 m/s   

 

Intervall (6,7)

s(7) = a(6) . Δt(6,7)2/ 2 + v(6) . Δt(6,7) + s(6)  

v(7) = a(6) . Δt(6,7)      + v(6)  

s(7) = -7    . 52/ 2       -5,1  . 5       + 41 = -72 m

v(7) = -7    . 5           -5,1 = -40,1 m/s  

 

Wo ist der Körper bei t=7 s und wie schnell ist er?

s(k) = a(3) . Δt(3,k)2/ 2 + v(k) . Δt(3,k) + s(3)  

v(k) = a(3) . Δt(3,k)      + v(3)  

 

Δt(3,k) = 7 – t(3) = 7 – 5 = 2 s

s(k) = -0,1   . 22/ 2      + 5,3  . 2    + 18,3 = 28,7 m

v(k) = -0,1   . 2          + 5,3 = 5,1 m/s   

 

Stellen Sie die Bahnkurve im (x,y)-Koordinatensystem dar.

 

Der Graph wird mit dem Programm Euler mit folgendem Befehl erzeugt:

>A=[0,2.1,3.5,6.3,8.4,9.1,12.6;2,8.9,18.3,38.7,44.1,41,-72]

>plot2d(A[1],A[2]); insimg;

Für die allgemeine Bewegung gilt

 

a = dv/ dt

 

v = a dt + v1

 

v = ds/ dt;  ds= v . dt;  s = v dt + s1

 

s = (a dt + v1) dt + s1

 

Kinematik-Beispiel Nr. 7   Berechnung einer Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung.

 

Intervall (0,1)

 

Der Weg beginnt bei 0.

Die Geschwindigkeit am Punkt 0 sei 10.

Die Beschleunigung am Punkt 0 sei 1 und nehme nach folgender Funktion

bis zum Punkt 1 linear auf den Wert 0 ab.

Der Punkt 2 sei nach 7 Sekunden erreicht.

Zu ermitteln sind der Weg und die Geschwindigkeit im Punkt 1.

 

An den Stellen, an denen zunächst Punkte eingetragen sind, sollen die fehlenden Werte errechnet werden.

a(0) =           1                      a(1) = 0                      m/s2

v(0) =            10                    v(1) = ….. 13,5           m/s

s(0) =           0                      s(1) = ….. 87,9           m

t(0)  =           0                      t(1)  = 7                       s

Aus dieser Gleichung wird durch Integration die Geschwindigkeit im Punkt 1 berechnet. Sie wird gewählt, weil die Randwerte von a im Intervall (0,1) bekannt sind.

Annahme (Aufgabenstellung):

Euler-Code für die Lösung des Integrals

Benötigt wird nur die 2. Zeile!

>plot2d("1-x/7",xmin=0,xmax=7); insimg;

>: res :integrate(1-x/7,x,0,7)

>: res, a=0.1, numer

3,5

 

Die Funktion der Geschwindigkeit wird dadurch ermittelt, dass statt des bestimmten Integrals das unbestimmte Integral gelöst wird.

 

Aus folgender Gleichung wird durch Integration der Weg im Punkt 1 berechnet. Sie wird gewählt, weil nunmehr die Randwerte von v im Intervall (0,1) bekannt sind.

 

 

Intervall (1,2)

Die Länge des Weges im Intervall Δs(1,2) = 10,10 ist gegeben.

Die Geschwindigkeit soll in diesem Intervall constant sein (gleichförmige Bewegung).

Wegen der Vorgabe einer gleichförmigen Bewegung ist die Beschleunigung a in diesem Intervall constant=0.

Zu ermitteln ist die Zeit, die im Punkt 2 vergangen ist.

a(1) =           0                      a(2) = 0                                 m/s2

v(1) =            13,5                 v(2) = 13,5                              m/s

s(1) =           87,9                 s(2) =87,90 + 10,10 = 98       m

t(1)  =           7                      t(2)  = ….. 7,75                      s

S(2) – s(1) = v(1).(t(2) – t(1))

10,1 = 13,5.(t(2) – 7)

t(2) = 10,1/ 13,5 + 7 = 7,75

 

Intervall (2,3)

 

In diesem Intervall erfolgt eine Bremsung (Verzögerung) bis zum Stillstand. Der Wert der Verzögerung ist gegeben.

Zu ermitteln ist der Gesamtweg und die Gesamtzeit.

a(2) =           -6,5                 a(3) = -6,5                             m/s2

v(2) =            13,5                 v(3) =  0                                 m/s

s(2) =           98                    s(3) = ….. 112,04                   m

t(2)  =           7,75                 t(3)  = ….. 9,83                      s

Aus dieser Gleichung wird durch Integration die Zeit im Punkt 3 berechnet, da die Randwerte v bekannt sind.

Da a keine Funktion von t ist, sondern eine Konstante, ist die Integration besonders einfach.

 

v(3) – v(2) = a(2).(t(3) – t(2))

0 – 13,5 = -6,5(t(3) – 7,75)

 

Da die obere Grenze der Zeit nicht bekannt ist, wird eine Variable für die Zeit eingeführt.

v(t) := v(3) = 0 (Stillstand)

t := t(3)

v(t) -13,5 = - 6,5(t – 7,75)

v(t) = 13,5 – 6,5(t – 7,75)

 

-13,5 = -6,5.t(3) + 6,5.7,75

6,5.t(3) = 13,5 + 6,5.7,75

t(3) = 9,83

 

Aus dieser Gleichung wird durch Integration der gesamte im Punkt 3 zurückgelegte Weg berechnet.

 

 

Die Funktion der Geschwindigkeit von der Zeit hatten wir zuvor berechnet. Um die Klarheit des Berechnungsganges zu bewahren, nehmen wir keine Vereinfachungen vor.

 

Beispiel Nr. 8    Zentripetalbeschleunigung   

Größen der gleichförmigen Drehbewegung am Kreis in Vektordarstellung 

 

      

Zur Aufrechterhaltung der Kreisbewegung muss eine Beschleunigung in Richtung des Mittelpunkts wirken. Diese Beschleunigung wird als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet. Der Vektor der Zentripetalkraft FZ ist das folgende Vektorprodukt des Vektors der Winkelgeschwindigkeit w mit dem Radiusvektor, der den Drehpunkt mit dem Teilchen auf der Kreisbahn verbindet.

 

Berechnen Sie die Zentripetalkraft für die Vektoren

Lösung

Zentripetalkraft für die Vektoren

 

Beispiel Nr. 9 

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Ein Kfz beginnt zur Zeit t=0 mit der konstanten Beschleunigung a = 2,2 m/s2 zu fahren. Der Durchmesser des Rades ist 0,60 m.

a) Berechne die Geschwindigkeit v des Kfz nach 6 s.

b) Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω eines Rades nach 6 s.

c)  Berechne die Winkelbeschleunigung α.

d)  Berechne den Winkel φ im Bogenmaß nach 6 s.

e)  Berechne die Anzahl n der Umdrehungen des Rades nach 6 s.

f)  Berechne die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Peripherie an der Oberseite des Rades nach 6 s.

 

Lösung

Ein Kfz beginnt zur Zeit t=0 mit der konstanten Beschleunigung a = 2,2 m/s2 zu fahren. Der Durchmesser des Rades ist 0,60 m.

a) Berechne die die Geschwindigkeit v des Kfz nach 6 s.

v = a . t = 2,2 m/s2  . 6 s = 13,2 m/s

b) Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω eines Rades nach 6 s.

v = ω . r

ω = v/ r = 13,2 m/s / 0,30 m

ω = 44 1/s

c)  Berechne die Winkelbeschleunigung α.

α = (ω – ω(0))/ (t – t(0)) = (44 1/s – 0)/ (6 – 0 s)

α = 7,333 1/s2

d)  Berechne den Winkel φ im Bogenmaß nach 6 s.

φ = α . t2 / 2 = 7,333 1/s2 . 62 s2/2

φ = 132

e)  Berechne die Anzahl n der Umdrehungen des Rades nach 6 s.

n = φ/(2 . p) = 132/(2 . p) 

n = 21

f)  Berechne die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Peripherie an der Oberseite des Rades nach 6 s.

v = 2 . v = 2 . 13,2 m/s = 26,4 m/s   

 

Beispiel Nr. 10

Rotor eines Hubschraubers

 

Der Rotor eines Hubschraubers hat den Durchmesser d = 10 m.

 

a) Welche Frequenz hat der Rotor bei 400 Umdrehungen pro Minute?

 

b)  Welchen Wert hat die Umlaufzeit T?

 

c) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω ? 

 

d) Welche Geschwindigkeit v hat eine Rotorspitze?

 

e) Berechne die Zentripetalbeschleunigung und drücke sie in einem Vielfachen der Erdbeschleunigung g aus.

 

Lösung

Der Rotor eines Hubschraubers hat den Durchmesser d = 10 m.

 

a) Welche Frequenz hat der Rotor bei 400 Umdrehungen pro Minute?

 

f = 400/min = 400/(min . 60 s/min) = 6,66 1/s = 6,66 Hz

 

b)  Welchen Wert hat die Umlaufzeit T?

 

T = 1/ f = 1/6,66 1/s = 0,15 s

        

c) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω ?  

 

ω = 2 . p . f = 2 . p . 6,66 1/s = 41,88 1/s

 

d) Welche Geschwindigkeit v hat eine Rotorspitze?

 

vT = ω . r = 41,88 1/s . 5 m = 209 m/s

 

e) Berechne die Zentripetalbeschleunigung und drücke sie in einem Vielfachen der Erdbeschleunigung g aus.

 

aZ = ω2 . r = (41,88 1/s)2 . 5 m = 8769 m/s2 = 894 g

 

 

Beispiel 11

Anhalten eines Rotors

Die Verzögerung eines Rotors erfolge nach der Funktion

α(t) = α(0) . (1 – t/ t1)

Stillstand erfolge nach

t(1) = t1 = 10 s

Die Randbedingungen sind

ω(t0) = ω(0) = 200 1/s  = Anfangswinkelgeschwindigkeit

ω(t1) = ω(10) = 0

φ(t0) = φ(0) = 0

 

a) Welchen Wert hat die Winkelbeschleunigung im Zeitpunkt 0?

b) Ermitteln Sie die Anzahl der Umdrehungen bis zum Stillstand.

 

Lösung

a) Welchen Wert hat die Winkelbeschleunigung im Zeitpunkt 0?

Die gegebene Funktion α(t) wird unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung ω(0)  integriert und liefert den Anfangswert α(0) der Beschleunigung.

ω(t) = α(0) . (t – t2/ (2 . t1)) + ω(0)

ω(t1) = α(0) . (t1 – t12/ (2 . t1)) + ω(0)

ω(t1) = α(0) . (t1 – t1/ 2 ) + ω(0)

ω(t1) = 0 = α(0) . (10 – 10/ 2 ) + 200

α(0) = -40   1/s2

ω(t) = -40 . (t – t2/ 20) + 200

Probe:

ω(10) = -40 . (10 – 102/ 20) + 200 = 0

 

b) Ermittlung der Anzahl der Umdrehungen bis zum Stillstand

Die Winkelgeschwindigkeit ω(t) wird integriert. Die Integrationskonstante C wird bestimmt. 

φ(t) = -40 . (t2/2 – t3/ 60) + 200 . t + C

φ( t=0 ) = 0 = -40 . (t2/2 – t3/ 60) + 200 . t + C

C = 0

φ( t=10 ) = -40 . (102/2 – 103/ 60) + 200 . 10 = 666

Nun wird noch die Anzahl der Umdrehungen ermittelt.

n = φ( t=10 )/ (2 . π)  =

n = φ(10)/ (2 . π)  = 666/ (2 . π)  = 106

 

Beispiel 12

Zentripetalbeschleunigung

 

a) Bei welcher Umdrehungszahl fliegt ein Körper von einer sich drehenden Scheibe, wenn die Haftreibungszahl μ0 zwischen Scheibe und Körper 0,45 und sein Abstand r zum Drehpunkt 30 cm ist.

 

b) Der Teller befinde sich zunächst in Ruhe und beschleunige dann gleichmäßig mit α = 3,0 1/s². Nach wie viel Sekunden löst sich der Gegenstand vom Teller?

 

Lösung

a) Bei welcher Umdrehungszahl fliegt ein Körper von einer sich drehenden Scheibe, wenn die Haftreibungszahl μ0 zwischen Scheibe und Körper 0,45 und sein Abstand r zum Drehpunkt 30 cm ist.

 

Beschreibt man das Objekt auf einer rotierenden Scheibe in einem Inertialsystem, so möchte sich der Körper gemäß Trägheitssatz nicht auf einer Kreisbahn, sondern unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit geradeaus weiterbewegen; es wirkt auf ihn aber die „nach innen“ gerichtete Zentripetalkraft.

 

Radialbeschleunigung az = Zentrifugalbeschleunigung

v = w  . r

w = v  / r

az = v . w  = w  . r . w   = w².r

az = v²/r

Anwendung des 2. Newton´sches Axioms für die Translation in Richtung des Radius

Fz = m . az

Fz = m . w². r

Gemäß Aufgabenstellung muss die Zentrifugalkraft die Haftreibungskraft FR0 überwinden. Berechnung der Haftreibungskraft:

Gleit-Reibungszahl  μ

Haftreibungszahl  μ0

Die Normalkraft steht senkrecht auf der Reibungsfläche  FN

FR0 = μ0 . FN

FN = m . g

FR0 = μ0 . m . g

Damit ein Körper relativ zu einem rotierenden Bezugssystem, in Ruhe gehalten wird, müssen sich die Fliehkraft und die nach innen gerichtete Zentripetalkraft kompensieren. Die Bedingung gemäß Aufgabenstellung lautet daher

FR0 = Fz

μ0 . m . g = m . az

Auflösung nach w

μ0 . g = az = w². r

Ermittlung der Kreisfrequenz. Bitte nicht nach w  auflösen, sondern Operationen auf dem Taschenrechner durchführen.

 

0,45 . 9,81 m/s² = w². 0,30 m

w   = 3,84 1/s

 Frequenz f = w / 2 p = 0,61 1/ s

 

b) Der Teller befinde sich zunächst in Ruhe und beschleunige dann gleichmäßig mit

α = 3 1/s². Nach wie viel Sekunden löst sich der Gegenstand vom Teller?

 

Es wirkt hier zusätzlich zur Zentripetalkraft die Tangentialkraft, da der Teller gleichmäßig mit der Winkelbeschleunigung a beschleunigt wird.  

Benötigt wird der Betrag a des Vektors a mit den Komponenten az und aT. Die Bedingung lautet

 

μ0 . m . g = m . |a|   oder

|a| = μ0 . g

|a| = (az2 + ar2)1/2

Der Betrag a des Vektors a ist die Wurzel aus seinen Komponenten

ar = α . r

az = w2 . r

|a| = (α2 . r2 + w4 . r2 )1/2

|a| = r .(α2 + w4)1/2

|a| = 0,30 .(3,02 + w4)1/2

Die Bedingungsgleichung lautet nun

μ0 . g = 0,45 . 9,81 = 4,414 = 0,30 .(3,02 + w4)1/2

Die Operationen zur Ermittlung von w  werden auf dem Taschenrechner durchgeführt.

w = 1,546 1/s

Da α gemäß Aufgabenstellung gegeben ist, kann so t ermittelt werden.

α = w/ t

t = w/  α

t = 1,546 1/s / 3,0 1/s²

t = 0,515 s