Auftrieb in Flüssigkeiten. Pontonbrücke
Eine Brücke wird durch zwei kubische Körper - sogenannte Pontons - getragen, die auf dem Wasser schwimmen.
Sie haben eine Grundfläche von A1 = 20 m2 bzw. A2 = 21 m2.
Die Spannweite der Brücke zwischen den beiden Pontons ist L=20 m. Die Brücke einschließlich der Pontons hat ein Masse von 10.000 kg.
Sie wird durch eine Verkehrslast – dies kann ein Auto sein – von F = 1.000 kg belastet.
Der Angriffspunkt der Kraft kann der Zeichnung entnommen werden.
Wie tief tauchen die beiden Pontons unter dem Eigengewicht und der Verkehrslast ein?
Stellen Sie zwei Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Eintauchtiefen z1 und z2 auf.
Sie sollten für die Aufstellung der Gleichung der Drehmomente einen Drehpunkt wählen, der die Lösung der zwei Gleichungen besonders einfach macht.
Hinweise für die Lösung:
Stellen Sie zwei Gleichungen für die Bestimmung der Werte von Eintauchtiefen z1 und z2 auf.
Die 1. Gleichung betrifft das Gleichgewicht der Kräfte in vertikaler Richtung. Die Auftriebskräfte sind gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers und zeigen nach oben (gewählte positive Richtung). Sie sind gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers
Zur Aufstellung der 2. Bestimmungsgleichung bilden Sie das Drehmomentengleichgewicht mit Drehpunkt um den linken Ponton (Vorschlag). Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft mal Weg. Da hier alle Kräfte vertikal orientiert sind, ist der Weg der horizontale Abstand zwischen der Kraft und dem Drehpunkt. Die als positiv gewählte Drehrichtung entspricht dem Drehsinn des Uhrzeigers (Vorschlag).
Lösung
Gleichgewicht der Kräfte in vertikaler Richtung. Die Auftriebskräfte sind gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers und zeigen nach oben (gewählte positive Richtung). 1. Bestimmungsgleichung:
20 m2 · z1 · ρ · g + 21 m2 · z2 · ρ · g = 10,000 t · g + 1,000 t · g
20 m2 · z1 · 1 t/ m3 + 21 m2 · z2 · 1 t/ m3 = 11,000 t
Drehmomentengleichgewicht mit Drehpunkt um den linken Ponton. Die als positiv gewählte Drehrichtung entspricht dem Drehsinn des Uhrzeigers. 2. Bestimmungsgleichung:
10,000 t · g ·10 m + 1,000 t · g · 6 m - 21 m2 · z2 · 1 t/ m3 · g · 20 m = 0
100 + 6 - 420 · z2 = 0
z2 = 0,252 m
Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man
z1 = 0,285 m
Die im Ingenieurwesen übliche Form der Lösung lautet:
Es werden einheitlich die Dimensionen m, s, kg, Pa vereinbart.
20 · z1 · ρ · g + 21 · z2 · ρ · g = 10000 · g + 1000 · g
20 · z1 · 1000 + 21 · z2 · 1000 = 11000
Drehmomentengleichgewicht mit Drehpunkt um den linken Ponton. Die als positiv gewählte Drehrichtung entspricht dem Drehsinn des Uhrzeigers. 2. Bestimmungsgleichung:
10000 · g ·10 + 1000 · g · 6 - 21 · z2 · 1000 · g · 20 = 0
100 + 6 - 420 · z2 = 0
z2 = 0,252 m
Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man
z1 = 0,285 m