Bernoulli-Gleichung



Die Berechnung erfolgt in der Regel so, dass der Term auf der linken Seite der Gleichung für zwei verschiedene Punkte aufgeschrieben wird und diese Terme gleichgesetzt werden. Wichtig ist, dass folgende 3 Annahmen getroffen werden (Vorschlag):

  1. Es werden einheitliche Dimensionen verwendet. Vorschlag: Es werden nur die Einheiten des SI-Systems verwendet.

  2. Der Druck wird auf den Wert 0 bezogen.

  3. Alle Höhenwerte z werden auf eine horizontale Linie durch den Punkt 3 bezogen.



Nehmen Sie an, dass das Reservoir ein unendlich großes Volumen hat und dass der Rohrquerschnitt an den Stellen (2) und (4) gleich ist. Die Längenmaße entnehmen Sie bitte der Zeichnung.

a) Berechnen Sie die Austrittsgeschwindigkeit bei (4).

b) Berechnen Sie den Fluss Q. A(4) = 1 m2

c) Der Druck bei 3 soll, um Kavitation zu vermeiden, nicht unter 0,2 bar sinken. Nach dem Gesetz von Bernoulli ist der statische Druck einer Flüssigkeit umso geringer, je höher die Geschwindigkeit ist. Fällt der statische Druck unter den Verdampfungsdruck der Flüssigkeit, bilden sich Dampfblasen. Diese werden anschließend mit der strömenden Flüssigkeit in Gebiete höheren Druckes mitgerissen. Mit dem erneuten Ansteigen des statischen Drucks über den Dampfdruck kondensiert der Dampf in den Hohlräumen schlagartig und die Dampfblasen kollabieren. Dabei treten extreme Druck- und Temperaturspitzen auf.

p(1)= 1 bar

p(3) = 0,2 bar

Berechnen Sie den Mindest-Wert des Querschnitts A(3) so, dass bei (3) keine Kavitation auftritt.


Lösung:

a) Die Werte an den Stellen 1 und 4 werden in Beziehung gesetzt.

An der Stelle (1) =

An der Stelle (4)

Übersichtlicher ist es, wenn man dies in einer Tabelle hinschreibt.


Summe an Stelle 4 =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

+

0 +

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Austritts-Geschwindigkeit Null

15 +

120 +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist am Punkt (3) Null.

Der Druck in der Flüssigkeit ist an beiden Stellen gleich, und zwar gleich dem Umgebungsdruck. Diese beiden Terme heben sich deshalb auf.


Der Druck p ist wie die Höhe auf einen Nullwert zu beziehen. Dies kann der Wert des Umgebungsdrucks sein oder der Wert 0. Hier brauchen wir uns wegen der Gleichheit in beiden Punkten nicht festzulegen.

v(4) = 45,4 m/s

b) Der Fluss ist Q(4) = A(4) . v(4) = 1,0 . 45,4 = 45,4 m3/s

c) Der Druck bei (3) soll, um Kavitation zu vermeiden, nicht unter 0,2 bar sinken.

p(1)= 1 bar

p(3) = 0,2 bar

Die BERNOULLl-Gleichung wird nun zwischen den Punkten (1) und (3) aufgeschrieben, bezogen auf die Höhe bei (3)


Summe an Stelle 3 =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

+

+

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Austritts-Geschwindigkeit Null

0 +

120 +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist im Punkt (3) Null.

Der absolute Druck in der Flüssigkeit ist an der Stelle 1 gleich 1 bar und an der

Stelle 3 gleich 0,2 bar


Summe an Stelle 3 =

Summe an Stelle 1

Bemerkung

0 +

Da bei einem großen Gefäß v = 0 gesetzt werden kann, ist die Eintritts-Geschwindigkeit Null.

0 +

120 +

Wir definieren: Der Wert der Höhe ist am Punkt (3) Null

Der absolute Druck in der Flüssigkeit ist an der Stelle 1 gleich 1 bar und an der

Stelle 3 gleich 0,2 bar


Aus dieser Gleichung kann v(3) errechnet werden, damit bei (3) keine Kavitation auftritt.

= 120 +

v(3) = 48,52 m/s

Q(4) = Q(3) Kontinuitätsgleichung

A(4) . v(4) = A(3) . v(3)

1,0 . 45,4 = A(3) . 48,52 m/s

A(3) = 0, 936 m2

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