Anhalten eines Rotors

Die Verzögerung eines Rotors erfolgt nach der Funktion

α(t) = α(0) ^. (1 – t/ t₁)

Stillstand erfolgt nach

t(1) = t₁ = 10 s

Die Randbedingungen sind

ω(t₀) = ω(0) = 200 1/s = Anfangswinkelgeschwindigkeit

ω(t₁) = ω(10) = 0

φ(t₀) = φ(0) = 0

a) Welchen Wert hat die Winkelbeschleunigung im Zeitpunkt 0?

b) Ermitteln Sie die Anzahl der Umdrehungen bis zum Stillstand.

Lösung

a) Welchen Wert hat die Winkelbeschleunigung im Zeitpunkt 0?

Die gegebene Funktion α(t) wird unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung ω(0) integriert und liefert den Anfangswert α(0) der Beschleunigung.

ω(t) = α(0) ^. (t – t²/ (2 ^. t₁)) + ω(0)

ω(t₁) = α(0) ^. (t₁ – t₁²/ (2 ^. t₁)) + ω(0)

ω(t₁) = α(0) ^. (t₁ – t₁/ 2 ) + ω(0)

ω(t₁) = 0 = α(0) ^. (10 – 10/ 2 ) + 200

α(0) = -40 1/s²

ω(t) = -40 ^. (t – t²/ 20) + 200

Probe:

ω(10) = -40 ^. (10 – 102/ 20) + 200 = 0

b) Ermittlung der Anzahl der Umdrehungen bis zum Stillstand

Die Winkelgeschwindigkeit ω(t) wird integriert. Die Integrationskonstante C wird bestimmt.

φ(t) = -40 ^. (t₂/2 – t₃/ 60) + 200 ^. t + C

φ( t=0 ) = 0 = -40 ^. (t₂/2 – t₃/ 60) + 200 ^. t + C

C = 0

φ( t=10 ) = -40 ^. (102/2 – 103/ 60) + 200 ^. 10 = 666

Nun wird noch die Anzahl der Umdrehungen ermittelt.

n = φ( t=10 )/ (2 ^. π) =

n = φ(10)/ (2 ^. π) = 666/ (2 ^. π) = 106