Kinematik der gleichmäßigen Beschleunigung

Beispiel: Magnuseffekt

Eine Bananenflanke (Fußballjargon) ist ein Querpass des Balls vor das gegnerische Tor (Flanke) mit stark gekrümmter Flugbahn. Dafür wird der Ball mit Effet getreten. Technisch erreicht wird die Bananenflanke durch den so genannten Innenspannstoß. Die krumme Flugbahn, die der Ball bei der Bananenflanke beschreibt, entsteht durch eine Rotation des Balls. Dabei reißt er Luft mit sich, und zwar in die Richtung, in die er sich dreht (Magnus-Effekt). Benannt ist der Effekt nach seinem Entdecker, dem deutschen Physiker und Chemiker Heinrich Gustav Magnus (1802-1870) Quelle: WIKIPEDIA

Infolge der Rotation wirkt auf den Ball neben der Gewichtskraft und dem Luftwiderstand also noch eine Magnuskraft. Diese Kraft steht

• normal zum Vektor der Translations-Geschwindigkeit des Balls und
• normal zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω und

kann näherungsweise nach folgender Formel berechnet werden.

F_M = π ^. ρ ^. ω ^. r^{3 .} v

a) Berechnen Sie die Magnuskraft F_M mit einem Wert

· der Dichte ρ der Luft von 1,20 kg/m³

· Der Durchmesser r des Balls ist nicht festgelegt, ergibt sich aber daraus, dass der Ball 1. kugelförmig sein und 2. einen Umfang von 68-70 cm haben muss.

· einer Abschussgeschwindigkeit v von 30 m/s. Die Geschwindigkeit sei während der gesamten Flugzeit konstant.

· und dass sich der Ball 10 Mal pro Sekunde um eine Achse, die Normal zur Geschwindigkeit steht, dreht. Die Umdrehungszahl ist n [1/s]. Die Winkelgeschwindigkeit ist ω = 2 π n

b) Nehmen Sie nun an, dass die Magnuskraft während der Flugzeit konstant wirkt und berechnen Sie mit Hilfe der Formeln der Kinematik unter Beachtung des 2. Newtonschen Axioms die seitliche Ablenkung s am Ende der Flugbahn, die eine Länge von 30 m haben soll. Die Gewichtskraft des Balls ist 4,3 N

Lösung:

a) Berechnung der Magnuskraft F_M

Es werden die Dimensionen N, m, kg, s vereinbart.

Berechnung der Winkelgeschwindigkeit aus der Umdrehungszahl

ω = 2 ^. π ^. n = 62,8 [1/s]

Berechnung des Radius des Balls aus seinem Umfang.

2 ^. π ^. r = 0,70

r = 0,11

F_M = π ^. 1,2 ^. 62,8 ^. 0,11^{3 .} 30

Magnuskraft F_M = 9,5 N

b) Berechnung der seitlichen Ablenkung s

als Fall der gleichmäßigen translatorischen Beschleunigung.

Aus der Magnuskraft und der Masse des Balls wird die seitliche Beschleunigung a berechnet. Hierfür verwenden wir das 2. Newtonsche Axiom.

Masse des Balls = (4,3 N / 9,81 m/s²) = 0,44 kg

Seitliche Beschleunigung a(0) = a(1) = konstant =

F_M /m = 9,5 N/ 0,44 kg = 21,5 m/s²

Kinematik

Die Flugzeit des Balles ist unter Nichtberücksichtigung der Luftreibung das

Zeitintervall Δt(0,1) = 30 m/ 30 m/s = 1 [s]

v(0) ist die Anfangsgeschwindigkeit des Balls quer zu seiner Flugbahn. v(0) = 0

s(0) ist der Anfangswert der Auslenkung des Balls quer zu seiner Flugbahn. s(0) = 0

Seitliche Auslenkung

a(0) = a(1) = konstant, Fall der gleichmäßigen Beschleunigung

Die Formel für den Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung ist

s(1) = a(0)^. Δt(0,1)²/2 + v(0)^. Δt(0,1) + s(0)

s(1) = 21,5 ^. 1²/2 + 0 ^. 1 + 0 = 10,8 m