Kinematik der gleichmäßigen Beschleunigung, 2 Intervalle

Vorbemerkungen

a ist das Symbol für die physikalische Größe „Beschleunigung“.

n ist das Symbol für eine ganze Zahl zur Indizierung von physikalischen Zuständen.

a(n) ist das Symbol der Beschleunigung im Punkt n.

v ist das Symbol für die Variable Geschwindigkeit.

v(n) ist das Symbol der Geschwindigkeit im Punkt n.

s ist das Symbol für den Weg, wobei als Anfangsbedingung s(0) = 0 gelte.

s(n) ist der Weg im Punkt n, bezogen auf den Weg im Punkt 0.

Der Definitionsbereich wird durch ein Intervall (n, n+1) angegeben.

Ist die Beschleunigung a in einem Zeitintervall (n, n+1) konstant (gleichmäßige Beschleunigung), so wollen wir das vereinfachend so schreiben

a(n) = a(n+1) = a = constant

Die kinematischen Gleichungen sind dann

v(n+1) = a(n)^. Δt(n,n+1) + v(n)

s(n+1) = a(n)^. Δt(n,n+1)²/2 + v(n)^. Δt(n,n+1) + s(n)

Für den Fall der gleichförmigen Translation, gekennzeichnet durch a = 0 und v = konstant, geht letztere Gleichung über in

s(n+1) = v(n)^. Δt(n,n+1) + s(n)

Wir werden diese Gleichungen als Berechnungsgleichungen verwenden.

· Wird zum Beispiel nach der Zeit t gefragt, wird die Gleichung für v bzw. für s hingeschrieben.

· Dann werden die bis dahin bekannten Zahlenwerte eingesetzt.

· Und dann erst wird nach t aufgelöst.

Das ist der übliche Weg, wenn Ingenieure die Aufgabe lösen. Es wird also nicht symbolisch nach t aufgelöst.

Aufgabenstellung: Bremsvorgang, 2 Zeitintervalle

Ein Fahrzeug habe zur Zeit 0 bzw. im Zeitpunkt 0 die Geschwindigkeit 10 m/s. Die Wegstrecke im Punkt 0 sei 0 m. Das Fahrzeug wird mit der Verzögerung -3 m/s² auf die Geschwindigkeit 7 m/s gebremst. Welches ist der Zeitwert im Zeitpunkt 1? Welchen Weg hat das Fahrzeug im Zeitpunkt 1 zurückgelegt?

Ausgehend vom Zeitpunkt 1 wird das Fahrzeug auf die Geschwindigkeit 0 m/s gebremst bzw. kommt nach 16 m Wegstrecke, gerechnet vom Wert im Zeitpunkt 0, im Zeitpunkt 2 zum Stehen.

Wie lange brauchte das Fahrzeug zwischen den Zeitpunkten 0, 1 und 2 und welche Verzögerung hatte es im Intervall (1,2)?

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

a(0) = -3 = a(1) = -3 m/s²

v(0) = 10 v(1) = 7 m/s

s(0) = 0 s(1) = … m

t(0) = 0 t(1) = … s

Lösung

Es wird vereinbart die Dimensionen m und s zu verwenden. Es werden zwei Gleichungen aufgestellt, die erfreulicherweise direkt gelöst werden können.

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

v(1) = a(0) ^. Δt(0,1) + v(0)

7 = -3 ^. Δt(0,1) + 10

Δt(0,1) = (7 – 10)/ (-3) = 1 s

Da s, der Weg, nur in der 3. Gleichung vorkommt, muss diese Gleichung verwendet werden.

s(1) = a(0) ^. Δt(0,1)²/ 2 + v(0) ^. Δt(0,1) + s(0)

s(1) = -3 ^. 1²/ 2 + 10 ^. 1 + 0

s(1) = 8,5 m

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (1,2)

a(1) = …-2,88 = a(2) m/s²

v(1) = 7 v(2) = 0 m/s

s(1) = 8,5 s(2) = 16 m

t(1) = 1 Δt(1,2) = … 2,14 s

t(2) = t(1) + Δt(1,2) = 1 + 2,14 = 3,14 s

In diesem Fall müssen 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten aufgestellt werden, die nicht direkt gelöst werden können.

Aufstellung der 1. Gleichung.

Da die Randwerte v(1), v(2) bekannt sind, wird die 2. Gleichung verwendet.

v(2) = a(1) ^. Δt(1,2) + v(1)

0 = a(1) ^. Δt(1,2) + 7

Aufstellung der 2. Gleichung.

Da die Randwerte s(1), v(2) bekannt sind, wird die 3. Gleichung verwendet.

s(2) = a(1) ^. Δt(1,2)²/ 2 + v(1) ^. Δt(1,2) + s(1)

16 = a(1) ^. Δt(1,2)²/ 2 + 7 ^. Δt(1,2) + 8,5

Lösung des Gleichungssystems. Unbekannte sind Δt(1,2)und a(1)

a(1) = -7/ Δt(1,2)

16 = (-7/ Δt(1,2)) ^. Δt(1,2)²/ 2 + 7 ^. Δt(1,2) + 8,5

Einsetzen der 1. in die zweite Gleichung ergibt eine Bestimmungsgleichung für Δt(1,2).

-3,5 ^. Δt(1,2) + 7 ^. Δt(1,2) = 16 – 8,5

3,5 ^. Δt(1,2) = 7,5

Δt(1,2) = 2,14 s

Nun kann auch a(1) berechnet werden.

a(1) = -7/ Δt(1,2)

a(1) = -7/ 2,14 = -3,27 m/s²