Zentripetalbeschleunigung

a) Bei welcher Umdrehungszahl fliegt ein Körper von einer sich drehenden Scheibe, wenn die Haftreibungszahl μ₀ zwischen Scheibe und Körper 0,45 und sein Abstand r zum Drehpunkt 30 cm ist.

b) Der Teller befinde sich zunächst in Ruhe und beschleunige dann gleichmäßig mit α = 3,0 1/s². Nach wie viel Sekunden löst sich der Gegenstand vom Teller?

Lösung

a) Bei welcher Umdrehungszahl fliegt ein Körper von einer sich drehenden Scheibe, wenn die Haftreibungszahl μ₀ zwischen Scheibe und Körper 0,45 und sein Abstand r zum Drehpunkt 30 cm ist.

Beschreibt man das Objekt auf einer rotierenden Scheibe in einem Inertialsystem, so möchte sich der Körper gemäß Trägheitssatz nicht auf einer Kreisbahn, sondern unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit geradeaus weiterbewegen; es wirkt auf ihn aber die „nach innen“ gerichtete Zentripetalkraft.

Radialbeschleunigung a_z = Zentrifugalbeschleunigung

v = w ^. r

w = v / r

a_z = v ^. w = w ^. r ^. w = w²^.r

a_z = v²/r

Anwendung des 2. Newton´sches Axioms für die Translation in Richtung des Radius

F_z = m ^. a_z

F_z = m ^. w²^. r

Gemäß Aufgabenstellung muss die Zentrifugalkraft die Haftreibungskraft F_R0 überwinden. Berechnung der Haftreibungskraft:

Gleit-Reibungszahl μ

Haftreibungszahl μ₀

Die Normalkraft steht senkrecht auf der Reibungsfläche F_N

F_R0 = μ₀ ^. F_N

F_N = m ^. g

F_R0 = μ₀ ^. m ^. g

Damit ein Körper relativ zu einem rotierenden Bezugssystem, in Ruhe gehalten wird, müssen sich die Fliehkraft und die nach innen gerichtete Zentripetalkraft kompensieren. Die Bedingung gemäß Aufgabenstellung lautet daher

F_R0 = F_z

μ₀ ^. m ^. g = m ^. a_z

Auflösung nach w

μ₀ ^. g = a_z = w²^. r

Ermittlung der Kreisfrequenz. Bitte nicht nach w auflösen, sondern Operationen auf dem Taschenrechner durchführen.

0,45 ^. 9,81 m/s² = w²^. 0,30 m

w = 3,84 1/s

Frequenz f = w / 2 p = 0,61 1/ s

b) Der Teller befinde sich zunächst in Ruhe und beschleunige dann gleichmäßig mit

α = 3 1/s². Nach wie viel Sekunden löst sich der Gegenstand vom Teller?

Es wirkt hier zusätzlich zur Zentripetalkraft die Tangentialkraft, da der Teller gleichmäßig mit der Winkelbeschleunigung a beschleunigt wird.

Benötigt wird der Betrag a des Vektors a mit den Komponenten a_z und a_T. Die Bedingung lautet

μ₀ ^. m ^. g = m ^. |a| oder

|a| = μ₀ ^. g

|a| = (a_z² + a_r²)^1/2

Der Betrag a des Vektors a ist die Wurzel aus seinen Komponenten

a_r = α ^. r

a_z = w^{2 .} r

|a| = (α^{2 .} r² + w^{4 .} r² )^1/2

|a| = r ^.(α² + w⁴)^1/2

|a| = 0,30 ^.(3,0² + w⁴)^1/2

Die Bedingungsgleichung lautet nun

μ₀ ^. g = 0,45 ^. 9,81 = 4,414 = 0,30 ^.(3,0² + w⁴)^1/2

Die Operationen zur Ermittlung von w werden auf dem Taschenrechner durchgeführt.

w = 1,546 1/s

Da α gemäß Aufgabenstellung gegeben ist, kann so t ermittelt werden.

α = w/ t

t = w/ α

t = 1,546 1/s / 3,0 1/s²

t = 0,515 s