Arbeit, Energie und Leistung bei der Rotation

a) Leite die Arbeit und Leistung bei der gleichförmigen Drehbewegung aus den entsprechenden Formeln für die Translationsbewegung her.

b) Nenne das Dynamische Grundgesetz der Rotation

c) Leite die Formel für die kinetische Energie bei der gleichförmigen Rotation aus der Formel für die kinetische Energie bei der gleichförmigen Translationsbewegung her.

d) Die Masse 3 kg hat die Translationsgeschwindigkeit 50 m/s. Welchen Wert hat die Winkelgeschwindigkeit ? einer Rotationsbewegung der Masse im Abstand des Schwerpunktes der Masse von 0,35 m um den Drehpunkt wenn die Energie der Translationsbewegung gleich der der Rotationsbewegung ist. Berechne die Frequenz f der Drehbewegung.

Lösung

a) Leite die Arbeit und Leistung bei der der gleichförmigen Drehbewegung aus den entsprechenden Formeln für die Translationsbewegung ab.

Arbeit bei der Translation = Kraft ^. Weg = F ^. s

Die konstante Kraft, die tangential am Umfang des rotierenden Körpers wirkt, ist F.

Der Weg, der von einem Punkt des Umfangs zurück gelegt wird, ist s.

Das konstante Drehmoment der am Umfang angreifenden Kraft ist M.

Der Winkel, um den sich der Körper dreht ist j

F = M/ r

s = j ^. r

W = F ^. s = (M/r) ^. (j ^. r)

W = M ^. j

Die Leistung bei der Rotation ist gleich Kraft F ^. Geschwindigkeit v

Die Leistung P bei der Translation ist

P = F ^. v

Die der Geschwindigkeit v zugeordnete Winkelgeschwindigkeit ist w.

Das Drehmoment M der Kraft F bezüglich des Drehpunktes der Rotationsbewegung ist

M = F ^. r

F = M/r

v = w ^. r

P = F ^. v = (M/r) ^. (w ^. r)

P = M ^. w

b) Nenne das Dynamische Grundgesetz der Rotation.

An einem drehbar gelagerten starren Körper erzeugt ein Drehmoment M eine Winkelbeschleunigung a.

Drehmoment = Massenträgheitsmoment ^. Winkelbeschleunigung

M = I ^. a

Massenträgheitsmoment der Punktmasse m ist I = r^{2 .} m

Bei mehreren Massen oder räumlich ausgedehnten Massen wird entweder summiert oder integriert. Zum Beispiel hat ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert, das Massenträgheitsmoment I = (r^{2 .} m)/ 2.

c) Leite die Formel für die kinetische Energie einer Punktmasse m bei der gleichförmigen Rotation aus der Formel für die kinetische Energie bei der gleichförmigen Translationsbewegung der Punktmasse mit der Geschwindigkeit v her.

Kinetische Translationsenergie = Rotationsenergie

W = T = (m ^. v²)/ 2

v = w ^. r

W = (m ^. w^{2 .} r²)/ 2

Massenträgheitsmoment I der Punktmasse m ist

I = r^{2 .} m

W = (I ^. w²)/ 2

d) Die Masse 3 kg hat die Translationsgeschwindigkeit 50 m/s. Welchen Wert hat die Winkelgeschwindigkeit w einer Rotationsbewegung der Masse im Abstand des Schwerpunktes der Masse von 0,35 m um den Drehpunkt wenn die Energie der Translationsbewegung gleich der der Rotationsbewegung ist. Berechne die Frequenz f der Drehbewegung.

Es werden die Dimensionen N, m, kg, s vereinbart.

W = 3 * 50² / 2 = 3750 Nm

I = 3 * 0,35² = 0,3675 kg m²

3750 = (0,3675 ^. w²)/2

w = 142,9 1/s

w = 2 ^. p ^. f

142,9 = 2 ^. p ^. f

f = 22,7 1/s