Erster Hauptsatz und spezielle Zustände

 

a)  Was ist die Aussage des 1. Hauptsatzes der Wärmelehre

b) Wie sind die folgenden Zustände definiert?

·         Isochore Zustandsänderung

·         Isobare Zustandsänderung               

·         Isotherme Zustandsänderung

c) Bei einer isothermen Expansion wird die zugeführte Wärmeenergie restlos in mechanische Arbeit umgewandelt. Leite die Formel für die Berechnung der Arbeit aus der Volumenänderung ab.

d) Adiabatische Zustandsänderung. Entwickle die Zustandsgleichung aus der Gleichung des 1. Hauptsatzes, der Gleichung für die Wärmekapazität und der Gleichung für das ideale Gas.

e) Entwickle die Formel für die adiabatische Volumenarbeit, d.h. die Arbeit, die bei einer adiabatischen Entspannung verrichtet wird.

f) Was ist eine polytrope Zustandsänderung?   

 

Lösung

a)  Was ist die Aussage des 1. Hauptsatzes der Wärmelehre

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist aus dem Satz der Energieerhaltung abgeleitet: Jedes System besitzt eine innere Energie U. Diese kann sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit W und/oder Wärme Q über die Grenze des Systems ändern, das heißt:  

    dU = dQ + dW         dQ = dU + p .  dV

         

Dabei ist dW = - p .   dV die Volumenarbeit. Die Gleichung gilt für das ruhende System. Beim bewegten System kommen die äußeren Energien (potentielle und kinetische Energie) hinzu.

         

Die Energie eines abgeschlossenen Systems bleibt unverändert. Verschiedene Energieformen können sich demnach ineinander umwandeln, aber Energie kann weder aus dem Nichts erzeugt, noch kann sie vernichtet werden.

 

b) Wie sind die folgenden Zustände definiert?

 

Isochore Zustandsänderung

Zustandsänderung des idealen Gases bei konstantem Volumen

         dQ = dU

 

Isobare Zustandsänderung                       

Zustandsänderung des idealen Gases bei konstantem Druck. Der 1. Hauptsatz vereinfacht sich nicht.

 

Isotherme Zustandsänderung

Da die Temperatur konstant ist, ist dU = 0.

         dQ = p . dV 

dW = - p .   dV

dW = - dQ

 

c) Bei einer isothermen Expansion wird die zugeführte Wärmeenergie restlos in mechanische Arbeit umgewandelt. Leite die Formel für die Berechnung der Arbeit aus der Volumenänderung ab.

        p = (m . Rs . T)/ V

        p       . dV = dQ = (m . Rs . T) . dV/ V

                     Integral über dQ zwischen den Grenzen V1 und V2

        dQ = m . Rs . T . (ln V2 - ln V1)

        dQ = m . Rs . T . ln (V2/ V1)

        p1/ p2 = V1/ V2

        dQ = m . Rs . T . ln (p2/ p1)

       

        dW = - m . Rs . T . ln (V2/ V1)

        p1 . V1 = p2 . V2 = -m . Rs . T

        dW = - p1 . V1 . ln (V2/ V1)

Für V2>V1 ist dW<0  die gelieferte Arbeit. Die Energie des Systems dU = dQ + dW  

nimmt ab.

Für V2<V1 ist dW>0 die aufgewendete Arbeit. Die Energie des Systems dU = dQ + dW  nimmt zu.

Die isotherme Expansion von Volumen V1 auf V2 erfolgt mit konstanter Temperatur T1, wobei die Wärme Q12 aufgenommen und die Arbeit W12 abgeführt wird. Das Gasvolumen wird größer, der Druck sinkt aber die Temperatur wird durch die Zufuhr von Q12  konstant gehalten.

 

d) Adiabatische Zustandsänderung. Entwickle die Zustandsgleichung aus der Gleichung des 1. Hauptsatzes, der Gleichung für die Wärmekapazität und der Gleichung für das ideale Gas.

Die Änderung erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, daher ist

         dQ = 0

0 = dU + p . dV

        dU = m . cv . dT

        p = (m . Rs . T)/ V

        0 =  m . cv . dT + (m . Rs . T)/ dV/ V

        Rs = cp - cv

        -cv . dT/ T = (cp - cv) . dV/ V

         Integration zwischen den Grenzen "1" und "2"

        -cv . ln (T2/ T1) = (cp - cv) ln (V2/ V1)

        (T1/ T2)cv = (V2/ V1)(cp - cv)

        cp/ cv = k    Definition des Adiabatenexponenten

        (T1/ T2) = (V2/ V1)( k - 1)

        

e) Entwickle die Formel für die adiabatische Volumenarbeit, d.h. die Arbeit, die bei einer adiabatischen Entspannung verrichtet wird.

Durch die Arbeit bei Entspannung wird dem System Energie entzogen, da definitionsgemäß keine Wärmeenergie zugeführt wird. Das Vorzeichen ist daher negativ. T1 ist die Anfangstemperatur und T2 die Endtemperatur.

        dW = - dU = -cv . m . (T1 – T2)

        dW = - m . Rs . (T1 - T2)/ (k - 1)

        dW = - n . R  . (T1 - T2)/ (k- 1)

 

f) Was ist eine polytrope Zustandsänderung?   

Die p, V - Kurve liegt zwischen einer Isothermen und einer adiabatischen Zustandsänderung.

          Polytropenexponent  n;  1 < n < k

         p . Vn = konstant

In den Gleichungen für die adiabatische Zustandsänderung kann k durch eine Zahl n ersetzt werden.