Kreisprozesse und Entropie
a) Was ist ein Kreisprozess?
b) Was ist ein Rechtsprozess und ein Linksprozess?
c) Beschreibe die 4 Phasen des Carnot-Prozesses. Stelle den Prozess im p-V-Diagramm dar. Begründe den Wirkungsgrad.
d) Wie lautet eine Formulierung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik?
e) Wie ist die Entropie definiert? Wie groß ist die Entropie für den reversiblen Kreisprozess? Leite die Formel für die Entropieänderung des idealen Gases ab.
Lösung
Quelle: WIKIPEDIA
a) Was ist ein Kreisprozess?
Als Kreisprozess bezeichnet man in der Thermodynamik eine Folge von Zustandsänderungen eines Arbeitsmediums (Flüssigkeit, Dampf, Gas, allgemein Fluid genannt) die periodisch abläuft, wobei immer wieder der Ausgangszustand erreicht wird.
b) Was ist ein Rechtsprozess und ein Linksprozess?
Es gibt Rechtsprozesse und Linksprozesse, je nachdem ob das Zustandsdiagramm im Uhrzeigersinn oder umgekehrt durchlaufen wird. Beim Rechtsprozess (Uhrzeigersinn) wird ein Teil der bei hoher Temperatur zugeführten Wärme in Arbeit umgewandelt, der andere Teil wird bei niedrigerer Temperatur wieder abgeführt. Die Differenz ist die Kreisprozessarbeit. Die Gewinnung von Arbeit im Rechtsprozess kommt dadurch zustande, dass das Gas bei niedriger Temperatur mit einem Arbeitsaufwand komprimiert wird und bei hoher Temperatur unter Arbeitsabgabe expandiert. Der Betrag der Volumenarbeit der Expansion ist größer als der der Kompression. Im p,V - Diagramm entspricht der Inhalt der umschlossenen Fläche der abgegebenen Arbeit, wenn die Kurve rechtsherum durchlaufen wird.
Beim Linksprozess kehrt sich demgegenüber alles um, so dass unter Arbeitsaufwand Wärme von einem kälteren Reservoir in ein wärmeres gefördert wird. Dies ist das Prinzip der Kälte erzeugenden Maschine, die Arbeit aufnimmt.
c) Beschreibe die 4 Phasen des Carnot-Prozesses. Stelle den Prozess im p-V-Diagramm dar. Begründe den Wirkungsgrad.
Von Menner - Eigenes Werk, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=37884724
Isotherme Kompression
Prozessschritt I Linie 1-2: Die isotherme Kompression von Volumen V1 auf V2 erfolgt mit konstanter Temperatur TK, wobei die Wärme Q12 abgegeben und die Arbeit W12 zugeführt wird. Das Gasvolumen wird kleiner, der Druck p steigt, aber die Temperatur wird durch die Kühlung mit dem kalten Reservoir konstant gehalten. Das Verschieben des Kolbens erfordert Arbeit.
Isentrope Kompression
Prozessschritt II Linie 2-3: Die isentrope Kompression von V2 auf V3 erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, wobei sich die Temperatur des Arbeitsmediums von TK auf TH ändert. Das Gasvolumen wird kleiner, Druck und Temperatur steigen dagegen. Das Verschieben des Kolbens erfordert die Arbeit W23 und wird im Arbeitsgas als innere Energie -U23 gespeichert. Da kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet (Q23 = 0), folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dass die gesamte Kompressionsarbeit in innere Energie übergeht.
Isotherme Expansion
Prozessschritt III Linie 3-4: Die isotherme Expansion von Volumen V3 auf V4 erfolgt mit konstanter Temperatur TH, wobei die Wärme Q34 aufgenommen und die Arbeit W34 abgeführt wird. Das Gasvolumen wird größer, der Druck sinkt, aber die Temperatur wird durch die Heizung mit dem warmen Reservoir konstant gehalten.
Isentrope Expansion
Prozessschritt IV Linie 4-1: Die isentrope Expansion von V4 auf V1 erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, wobei sich die Temperatur des Arbeitsmediums von TH auf TK ändert. Das Gasvolumen wird größer, Druck und Temperatur fallen. Das Verschieben des Kolbens erfolgt unter Abgabe der Arbeit W41 wofür dem Arbeitsgas die innere Energie -U41 (= -U23) entzogen wird. Da kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet Q41 = 0, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dass die gesamte Expansionsarbeit aus dem Verlust an innerer Energie resultiert.
Da die adiabatische Volumenarbeit nur von der Differenz T2 - T1 abhängt (s.o.), ist die Summe der Arbeiten unter 2. und 4. gleich Null. Da bei den verbleibenden Prozessen 1. und 3. die Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt wird, ist der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses der größtmögliche.
Thermischer Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses η
η = (Q2 - Q1)/ Q1 = (T2 – T1)/ T1
Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die bei gegebenen Temperaturen der Wärmezufuhr und Wärmeabfuhr einen höheren Wirkungsgrad hat als der aus diesen Temperaturen gebildete Carnot-Wirkungsgrad.
Alle reversiblen Wärme-Kraft-Prozesse mit konstanten Temperaturen der Wärmezufuhr und Wärmeabfuhr haben denselben Wirkungsgrad, wie der entsprechende Carnot-Prozess. Dies trifft auch für den Stirling-Prozess zu. Alle irreversiblen Wärme-Kraft-Prozesse haben einen geringeren Wirkungsgrad.
d) Wie lautet eine Formulierung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik?
Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Wärme kann von einem kälteren auf einen wärmeren Körper nur übertragen werden, wenn Arbeit aufgewendet wird.
e) Wie ist die Entropie definiert? Wie groß ist die Entropie für den reversiblen Kreisprozess? Leite die Formel für die Entropieänderung des idealen Gases ab.
Die Entropie bleibt bei jedem umkehrbaren, reversiblen Kreisprozess unverändert. Bei irreversiblen Prozessen wächst sie.
Berechnung der Entropieänderung des idealen Gases
dQ = dU + p · dV
dS = dQ/ T
dS = (dU + p · dV)/ T
dU = cv · m · dT
p · V = m · R · T
dV = cv · m · dT/ T + ((m · R · T)/ T) · dV/V
Kürzen von T und Integration ergibt
ΔS = cv · m · ln (T2/ T1) + m · R · ln (V2/ V1)