Harmonische Schwingungen


An einer Schraubenfeder hängt die Masse m. Das schwingungsfähige System hat die Schwingungsperiode T = 7 s.

Lenkt man die Masse um z0 = - 25 cm aus der Gleichgewichtslage nach unten aus und lässt sie dann los, so entsteht eine harmonische Schwingung.

Die + Richtung der z-Achse zeigt nach oben.


a) Wie lautet die Funktion dieser Schwingung?


b) Wie groß sind die Auslenkung z, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a im Zeitpunkt t = 1,2 s?

c) Wie groß sind die maximalen Werte der Geschwindigkeit und Beschleunigung?


Hinweis: Die Ableitung der Funktion z ist



Lösung

An einer Schraubenfeder hängt die Masse m. Das schwingungsfähige System hat die Schwingungsperiode T = 7 s.

Lenkt man die Masse um z0 = - 25 cm aus der Gleichgewichtslage nach unten aus und lässt sie dann los, so entsteht eine harmonische Schwingung.

Die + Richtung der z-Achse zeigt nach oben.


a) Wie lautet die Funktion dieser Schwingung?


Die Lösung der Schwingungsgleichung lautet

z = z0 . sin(ω . t + z0 . sin( (2 / T) . t + 

Die zwei Anfangsbedingungen lauten

- Der Betrag der Amplitude ist z0 = 0,25 m

- Die Masse befindet sich zur Zeit t=0 /2 vor dem Durchgang durch den Schwingungs-Nullpunkt. Der Phasenverschiebungswinkel bestimmt die Position, welche der Körper zum Zeitpunkt t=0 hat.

Deshalb ist = (t=0)= - /2.

Die Nullpunkte des Phasenverschiebungswinkels und der Zeit sind (bei dieser Aufgabe) versetzt.


ω = 2 . / T = 2 . / 7 s = 0,897 1/s

z = 0,25 [m] . sin(0,897 [1/s] . t [s] - 0,5 .

Das Vorzeichen der Amplitude z wird durch das Vorzeichen der sin-Funktion, das heißt von t und bestimmt.


Zum Beispiel ist die Auslenkung z im Zeitpunkt t = T/ 4 s (ein viertel der Schwingungsdauer)

z = z0 . sin(ω . t + 25 . sin( (2 / T) . T/4 + 

z(t=T/4) = 0,25 . sin (2 / T) . T/4 + 

z = 0,25 . sin (0,5 - /2= 20 . sin (0= 0


Die Probe zeigt, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangsbedingung erfüllt ist.

z(t=0) = 0,25 . sin (0 - /2= -0,25 m


b) Wie groß sind die Auslenkung z, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a im Zeitpunkt t = 1,2 s?


v und a erhalten wir durch Ableitung der Funktion z.

z = z0 . sin(ω . t +

v = ω . z0 . cos(ω . t +

a = - 2 . z0 . sin(ω . t +

Nun werden die aktuellen Werte in diese Gleichungen eingesetzt. Es werden die Dimensionen s und m vereinbart.

ω . t + 0,897 . 1,2 - 0,5 . = - 0,494

z(1,2)= 0,25 . sin(- 0,494) = -0,118[m]

Der Wert ist negativ, da T/4 = 5/4 = 1,25 – das ist der Zeitpunkt des ersten Nulldurchgangs – größer als t = 1,2 ist.

v(1,2)= 0,897 . 0,25 . cos(- 0,494)= 0,197 [m/s]

a(1,2)= -0,8972 [1/s2] . 0,25[m]. sin(- 0,494)= 0,095 [m/s2]

c) Wie groß sind die maximalen Werte der Geschwindigkeit und Beschleunigung?


sin und cos haben den maximalen Wert 1.

z(1,2)= 0,250 [m]

v(1,2)= 0,224 [m/s]

a(1)= 0,201 [m/s2]