Kinematik, 3 Intervalle

 

Eine Schienenbahn fährt von Station A nach Station B. Zunächst beschleunigt sie, fährt dann mit gleichförmiger Geschwindigkeit und verzögert dann bis zum Stillstand in B. Die Randbedingungen für die drei Intervalle können den Tabellen entnommen werden.

Es werden die Einheiten m, s vereinbart.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

a(0) = 0,25      a(1) = 0,25          m/s2

v(0) = 0          v(1) = 30            m/s

s(0) = 0          s(1) = …           m

t(0) = 0          t(1) = …             s

In diesem Abschnitt nimmt die Geschwindigkeit von 0 auf 30 zu.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (1,2)

a(1) =      a(2) = 0             m/s2

v(1) = 30   v(2) = 30            m/s

s(1) =      s(2) = …            m

t(1) =      t(2) = …             s

In diesem Abschnitt ist die Geschwindigkeit konstant.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (2,3)

a(2) =      a(3) = -0,7          m/s2

v(2) = 30   v(3) = 0             m/s

s(2) =      s(3) = 4000         m

t(2) =      t(3) = …             s

In diesem Abschnitt nimmt die Geschwindigkeit von 30 auf 0 ab.

 

Lösung

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (0,1)

a(0) = 0,25      a(1) = 0,25          m/s2

v(0) = 0          v(1) = 30            m/s

s(0) = 0          s(1) = …           m

t(0) = 0          t(1) = …             s

 

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)  

n = 0

v(1) = a(0) . Δt(0,1) + v(0)

30   = 0,25 . Δt(0,1) + 0

Δt(0,1) = 120 s

 

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)   

n=0

s(1) = a(0). Δt(0,1)2/2 + v(0). Δt(0,1) + s(0)

s(1) = 0,25 . 1202/2 + 0 + 0

s(1) = 1800 m

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (1,2)

a(1) =      a(2) = 0             m/s2

v(1) =      v(2) = 30            m/s

s(1) = 1800 s(2) = …            m

t(1) = 120  t(2) = …             s

t (1) = t(0) + Δt(0,1)

In diesem Abschnitt ist die Geschwindigkeit konstant.

s(n+1) = v(n). Δt(n,n+1) + s(n)  

n = 1

s(n+1) = v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

s(2) = v(1). Δt(1,2) + s(1)

s(2) = v(1). Δt(1,2) + 1800

Es gibt nur eine Bestimmungsgleichung, aber zwei Unbekannte: s(2) und Δt(1,2)

Es wird zunächst beim Intervall (2,3) weiter gerechnet.

 

Anfangswerte, Endwerte und konstante Werte im Intervall (2,3)

a(2) =                a(3) = -0,7          m/s2

v(2) = 30              v(3) = 0             m/s

s(2) =                s(3) = …            m

t(2) = 120+ Δt(1,2)    t(3) = …             s

t (2) = t(0) + Δt(0,1) + Δt(1,2)

 

v(n+1) = a(n). Δt(n,n+1) + v(n)  

n = 2

v(3) = a(2) . Δt(2,3) + v(2)

0    = -0,7  .  Δt(2,3) + 30

Δt(2,3) = 42,86 s

 

s(n+1) = a(n). Δt(n,n+1)2/2 + v(n). Δt(n,n+1) + s(n)

n=2

s(3) = a(2). Δt(2,3)2/2 + v(2). Δt(2,3) + s(2)

4000 = -0,7 . 42,862/2  +  30 . 42,86   + s(2)

s(2) = 3357 m

 

Intervall (1,2)

s(2) = v(1). Δt(1,2) + s(1)

3357 = 30 . Δt(1,2) + 1800

Δt(1,2) = 51,90 s

Mit den errechneten Werten können die Tabellen oben ergänzt werden.

t(3) = t(0) + Δt(0,1) + Δt(1,2)+ Δt(2,3)

t(3) = 0 + 120 + 51,90 + 42,86  = 214,76 s