Massen, verbunden durch ein Seil
Stelle die Bewegungsgleichung für das dargestellte System auf. An der Umlenkung des Seils tritt keine Reibung auf. Die Umlenkung erfolgt auch nicht mit einer Rolle, so dass auch keine Rotationsbeschleunigung vorhanden ist.
a) für den Fall μ = 0
b) für den Fall μ = 0,20
Lösung
Stelle die Bewegungsgleichung für das dargestellte System auf.
a) für den Fall μ = 0
2. Newtonsches Axiom für die Translationsbewegung
F = m . a
F = G2 – R ist die Summe der Kräfte im Seil, das an einer beliebigen Stelle durchtrennt wird.
R ist die Reibungskraft in der Kontaktfläche der Masse m1.
R = m1 . g . μ
Sie ist der Gewichtskraft G2 entgegen gerichtet.
Die Massen m1 und m2 weisen die gleiche Beschleunigung a auf.
G2 – R = m2 . g – m1 . g . μ = (m1 + m2). a
15 kg . 9,81 m/s2 – 0 = (20 + 15) kg . a m/s2
a = 4,20 m/s2
Werden einheitliche die Dimensionen m, s, kg vereinbart, so lautet diese Gleichung
15 . 9,81 – 0 = (20 + 15) . a
a = 4,20 [m/s2 ]
b) für den Fall μ = 0,20
G2 – R = m2 . g – m1 . g . μ = (m1 + m2). a
15 kg . 9,81 m/s2 – 20 kg . 9,81 m/s2 . 0,20 =
(20 + 15) kg . a m/s2
bzw.
15 . 9,81 – 20 . 9,81 . 0,20 = (20 + 15) . a
Die Gleichung wird nicht nach a aufgelöst, sondern es werden die Zahlen in den Taschenrechner eingegeben.
a = 3,08 [m/s2 ]
Die Bewegungsgleichung lautet
d2z/dt2 = 3,08
Dies ist eine Differentialgleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten.
Die Anfangsbedingungen könnten zum Beispiel lauten
z(0) = 0
dz/dt = 0, t=0 bzw. z´(0) = 0
Die Lösung der Differenzialgleichung wurde in der Aufgabenstellung nicht verlangt.