Rechenaufgabe zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik


In einem wärmeisolierten Zylinder von 0,5 m3 befindet sich Gas, dessen Druck durch einen Kolben konstant auf 3 bar gehalten wird.


Dem Gas wird die Dissipationsenergie Wdiss=0,2 kWh zugeführt. Dabei steigt die Temperatur von 18 Grad C auf 500 Grad C.

(Hinweis: Es handelt sich nicht um einen adiabatischen Prozess.)


1. Berechnen Sie die Volumenänderungsarbeit.


2. Berechnen Sie die Änderung ΔU = U(2) – U(1) der inneren Energie.


3. Wie groß ist die an die Umgebung abgegebenen Verschiebearbeit?

Der Umgebungsdruck beträgt 1,00 bar.


4. Wie groß ist die an die Kolbenstange abgegebene Nutzarbeit?


V(1)=0,5 m3

V(2)= …

p(1)=3 bar

p(2)=3 bar

p(Umgebung)=1,00 bar

W(dissipativ,2)=0,20 kWh

W(Volumenänderungsarbeit) = …

T(1)=18 Grad C

T(2)=500 Grad C

U(1) innere Energie im Punkt 1

U(2) innere Energie im Punkt 2

Änderung ΔU = U(2) – U(1) der inneren Energie = …

W(Verschiebearbeit) = …

W(Nutzarbeit) = …


Lösung

Es werden die Dimensionen m, s, kJ, N, Pa vereinbart.


1. Berechnen Sie die Volumenänderungsarbeit.

V(2)/T(2) = V(1)/T(1)

V(2) = V(1) · T(2)/T(1)

V(2) = 0,5 · 773/ 291 = 1,328 m3

ΔV = 1,328 m3 – 0,5 m3 = 0,828 m3

ΔW(Volumenänderungsarbeit) = -p(1) ·ΔV

ΔW(Volumenänderungsarbeit) = - 3·105 N/m2 · 0,828 m3

ΔW(Volumenänderungsarbeit) = - 0,248 · 106 Nm = -248 kJ (negativ, abgeführt)


2. Berechnen Sie die Änderung ΔU = U(2) – U(1) der inneren Energie.

ΔU = U(2) – U(1)

ΔU = ΔW(Volumenänderungsarbeit) + ΔW(dissipativ)

ΔU = -248 kJ + 720 kJ = 472 kJ (pos.; innere Energie steigt)


3. Wie groß ist die an die Umgebung abgegebenen Verschiebearbeit?

Der Umgebungsdruck beträgt 1,00 bar.

p(Umgebung) = 1,00 bar = 1,0 · 105 N/m2

ΔW(Verschiebearbeit) = -p(Umgebung) · ΔV

ΔW(Verschiebearbeit) = -1,0 · 105 N/m2 · 0,828 m3

ΔW(Verschiebearbeit) = -0,0828 · 106 Nm = -82,8 kJ (negativ, abgeführt)


4. Wie groß ist die an die Kolbenstange abgegebene Nutzarbeit?

ΔW(Nutzarbeit) = W(Nutzarbeit,2) - W(Nutzarbeit,1)

ΔW(Nutzarbeit) = ΔW(Volumenänderungsarbeit) - ΔW(Verschiebearbeit)

ΔW(Nutzarbeit) = -248 kJ - (-82,8 kJ) = -165,2 kJ (negativ, abgeführt)

Alternativ:

ΔW(Nutzarbeit) = (1,0 – 3,0) · 105 N/m2 · 0,828 = -165,2 kJ (negativ, abgeführt)